Całka wymierna anonim123: Jak obliczyć ta całkę wymierną https://zapodaj.net/3e4877eeaba25.jpg.html

Mariusz :

	6x3+1		6x3		1
∫		dx = ∫		dx+∫		dx
	x4+x3		x4+x3		x4+x3

	6		1
=∫		dx+∫		dx
	x+1		x4+x3

	1		(−1)
∫		dx=−∫		dx
	x4+x3		x2(x2+x)

	1
t =
	x

	1
dt = −		dx
	x2

	1
−∫		dt
	1   1   + t2   t

	1
=−∫		dt
	t+1   t2

	t2
=−∫		dt
	t+1

	t2−1+1
=−∫		dt
	t+1

	t2−1		1
=−(∫		dt +∫		dt)
	t+1		t+1

	1
=−∫(t−1)dt − ∫		dt
	t+1

	(t−1)2
=−		− ln|t+1|
	2

	1		1		1+x
=6ln|x+1|−		(		−1)2−ln|		|
	2		x		x

	1	(1−x)2
=5ln|x+1|−			+ln|x|+C
	2	x2

wredulus_pospolitus:

6x3 + 1		6x3+1		Ax2 + Bx + C		D
	=		=		+
x4+x3		x3(x+1)		x3		x+1

−−−> x³: A + D = 6 x²: A + B = 0 x¹: B + C = 0 x⁰: C = 1 −−−> C = 1 −−−> B = −1 −−−> A = 1 −−−> D = 5 −−−>

	6x3 + 1		x2 − x + 1		5
∫		dx = ∫		dx + ∫		dx = .... z tym to już sobie
	x4+x3		x3		x+1

chyba poradzisz ... prawda ?!

anonim123: Wredulus_pospolitus a jak by to wyglądało gdyby w mianowniku było x² razy coś?

Szkolniak: ogólnie:

6x3+1		A		B		C		D
	=		+		+		+
x3(x+1)		x		x2		x3		x+1

(*) 6x³+1=Ax²(x+1)+Bx(x+1)+C(x+1)+Dx³ Masz 4 niewiadome (A,B,C,D), więc wybierasz sobie cztery iksy i podstawiasz pod równość (*) : x=0 : 6*0³+1=A*0²(0+1)+B*0*(0+1)+C(0+1)+D*0³ x=1 : 6*1³+1=A*(1+1)+B*(1+1)+C*(1+1)+D*1³ x=−1 : 6*(−1)³+1=A(−1+1)+B*(−1)*(−1+1)+C*(−1+1)+D*(−1)³ x=2 : 6*2³+1=A*2²*(2+1)+B*2*(2+1)+C(2+1)+D*2³ No i dalej poleci

Szkolniak: Może odpowiem za wredulusa, ale co to znaczy 'x² razy coś'? daj jakiś przykład co masz na myśli

anonim123: Zamiast x³(x+1) w tym przykładzie w mianowniku byłoby x² razy coś

Szkolniak: No tak, chodziło mi o to co to jest to 'coś'..

	6x3+1
Zakładając że masz		, to stopień wielomianu w liczniku jest taki sam jak
	x2(x+1)

stopień wielomianu w mianowniku, więc dzielisz a potem znów rozkład, taka różnica że nie będzie tej części z niewiadomą C

anonim123: Dziękuję a tutaj dobrze obliczamy ta całkę?😏 https://zapodaj.net/cc3ed4bfc541e.jpg.html https://zapodaj.net/cfb19fbd6b430.jpg.html

anonim123: wiem że powinno być x=t+1/2

anonim123: Coś jeszcze jest źle?

Szkolniak: no na koncu nie masz w ogóle wyniku z całki ∫t⁻²dt

anonim123: A jak policzyć coś takiego https://zapodaj.net/b505b72bf9b80.jpg.html

I'm back: Mianownik to nic innego jak (x+1)⁴ a w liczniku masz (x+1)(10x² + 10x + 5) − 1

anonim123: a po skróceniu jak to obliczyć?

Szkolniak:

	10x3+20x2+15x+4
∫		dx=
	(x+1)4

10x3+20x2+15x+4		A		B		C		D
	=		+		+		+
(x+1)4		x+1		(x+1)2		(x+1)3		(x+1)4

10x³+20x²+15x+4=A(x+1)³+B(x+1)²+C(x+1)+D x=0 : 4=A+B+C+D x=−1 : −1=D x=1 : 49=8A+4B+2C+D x=2 : 194=27A+9B+3C+D (A,B,C,D)=(10,−10,5,−1)

	10		10		5		1
=∫(		−		+		−		)dx=
	x+1		(x+1)2		(x+1)3		(x+1)4

	1
=10∫		dx−10∫(x+1)−2dx+5∫(x+1)−3dx−∫(x+1)−4dx=
	x+1

	10		5		1
=10ln|x+1|+		−		+		+C
	x+1		2(x+1)2		3(x+1)3

anonim123: A jest jakiś łatwiejszy sposób obliczenia całki jak nie przez dzielenie licznika przez mianownik

	x5
całka
	(x+1)4

Szkolniak: nie wiem, może pomyślałbym nad jakimś trygonometrycznym podstawieniem typu x=tan²(u), ale nie wiem co by z tego wyszło zaraz jeszcze pomyślę i może coś wymyślę

Szkolniak: albo może coś z tego?

x5		x5
	=		=
(x+1)4		1   [x(1+ )]4   x

	x5		x
=		=		i coś dalej, można pokombinować
	1   x4(1+ )4   x		1   (1+ )4   x

Mariusz:

	1	x5		5		x4
=−			+		∫		dx
	3	(x+1)3		3		(x+1)3

	1	x5		5		1	x4		x3
=−			+		(−			+2∫		dx)
	3	(x+1)3		3		2	(x+1)2		(x+1)2

	1	x5		5	x4		10		x3
=−			−			+		∫		dx
	3	(x+1)3		6	(x+1)2		3		(x+1)2

1

x5

5

x4

10

x3

x2

=−

−

+

(−

+3∫

dx)

3

(x+1)3

6

(x+1)2

3

x+1

x+1

	1	x5		5	x4		10	x3		x2−1+1
=−			−			−			+10∫		dx
	3	(x+1)3		6	(x+1)2		3	x+1		x+1

	1	x5		5	x4		10	x3
=−			−			−
	3	(x+1)3		6	(x+1)2		3	x+1

	1
+10∫(x−1)dx+10∫		dx
	x+1

	1	x5		5	x4		10	x3
=−			−			−			+5(x−1)2+10ln|x+1|+C
	3	(x+1)3		6	(x+1)2		3	x+1

I'm back:

	x5
∫		dx
	(x+1)4

Podstawienie t = x+1 ( więc t−1 = x) Zazstosowac wzór skróconego mnozenia w liczniku Rozdzielić na 6 całek elementarnych

anonim123: Dziękuję