Funkcja tworząca Szkolniak: Dzień dobry, czy byłby ktoś w stanie wskazać mi tutaj błąd? Bo wyszedł mi w mianowniku trójmian kwadratowy bez rzeczywistych pierwiastków i nie wiem w czym problem. link do rozwiązania: https://imgur.com/gallery/ggMlGJo Byłbym wdzięczny

Mariusz: c_n+2=−2c_n+1−2c_n c₀ = 0, c₁=2 ∑_n=0^∞c_n+2xⁿ=∑_n=0^∞−2c_n+1xⁿ+∑_n=0^∞−2c_nxⁿ

1		2
	(∑n=0∞cn+2xn+2)=−		(∑n=0∞cn+1xn+1)
x2		x

−2(∑_n=0^∞c_nxⁿ) |* x² ∑_n=0^∞c_n+2xⁿ⁺² = −2x(∑_n=0^∞c_n+1xⁿ⁺¹)−2x²(∑_n=0^∞c_nxⁿ) (∑_n=0^∞c_nxⁿ − c₀ − c₁x) = −2x (∑_n=0^∞c_nxⁿ − c₀) −2x²(∑_n=0^∞c_nxⁿ) C(x)−2x=−2xC(x)−2x²C(x) C(x)(1+2x+2x²)=2x

	2x
C(x) =
	1+2x+2x2

A rzeczywiście wyszedł trójmian nierozkładalny w mianowniku ale to nic nie przeszkadza nadal będziesz miał sumę szeregów geometrycznych (tutaj bez pochodnych szeregów geometrycznych bo w mianowniku nie masz pierwiastków wielokrotnych) Jak już rozłożysz tę funkcję na sumę szeregów geometrycznych o zespolonym ilorazie to przejdź na postać trygonometryczną (najlepiej w wersji wykładniczej) i na niej wykonaj potrzebne mnożenia i potęgowania

Szkolniak:

	1+i		1−i
2x2+2x+1=2(x+		)(x+		)
	2		2

2x		A		B
	=		+
1+i   1−i   2(x+ )(x+ )   2   2		1+i   x+   2		1−i   x+   2

x		A		B
	=		+
1+i   1−i   (x+ )(x+ )   2   2		1+i   x+   2		1−i   x+   2

	1		1
A=		(1−i) , B=		(1+i)
	2		2

	1		1		1		1
C(x)=		(1−i)*		+		(1+i)*
	2		1+i   x+   2		2		1−i   x+   2

	1		1
C(x)=(1−i)*		+(1+i)*
	1+2x+i		1+2x−i

Coś w ten sposób? Bo nie wiem, nie do końca to widzę Mariusz Trochę mi mieszają te zespolone i nie wiem jak mogłaby tutaj pomóc inna postać

Mariusz: Szkolniak pisałem ci że to są szeregi geometryczne i ich pochodne a nie ułamki proste a jaki jest wzór na sumę szeregu geometrycznego Nie lubię nazwy ułamki proste bo w tym przypadku jest ona myląca Teraz masz takie wyjścia albo przekształcić te ulamki do postaci przypominającej wzór na szereg geometryczny albo licz n. pochodną tych ułamków Ja sugerowałbym ci jednak szereg geometryczny Gdy już wydobędziesz współczynniki szeregu geometrycznego przejdź na postać trygonometryczną i wykonaj na niej potrzebne mnożenia i potęgowania Tutaj akurat będzie ładny kąt Ogólnie gdybyś dostał kąt wymagający arcusów to lepiej mnożenie przeprowadzić w postaci ogólnej Mnie wyszło

	π
cn = 2(√2)ncos(		(3n−2))
	4

Mariusz: Tak się zastanawiam , skoro zespolone sprawiają ci kłopoty to może z postaci kanonicznej dałoby się coś wywnioskować ale na razie nic mi nie przychodzi do głowy

	1		π
Przykładowo funkcję tworzącą		można rozwinąć jako cos(		n)
	1+x2		2

	x		π
a funkcję tworzącą		można rozwinąć jako sin(		n)
	1+x2		2

Mila: Rozwiązanie jest liczbą zespoloną.

Szkolniak: Mariusz wiesz co chyba nie znam tutaj zbytnio podstaw, jakieś n−te pochodne czy rozwijanie to nawet nie znam takich pojęć i tych narzędzi, więc nic mi to nie da Po prostu chciałem spróbować przykład i zaciekawiło mnie że nie da się go rozłożyć, a żeby dalej w to brnąć to nie mam na tyle wiedzy Jedyne co tam mogę przekształcić to

	1−i		(1−i)(1−(−2x−i)n)
		=		, ale czy to cokolwiek pomoże to
	1+2x+i		(1−(−2x−i))(1−(−2x−i)n)

nie mam pojęcia

Mariusz: Standardowa procedura prowadzi przez sumy szeregów geometrycznych o ilorazach zespolonych ale ostateczne rozwiązanie można wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych Zastanawiam się jak dałoby się ominąć zespolone albo jakoś niejawnie z nich skorzystać skoro one sprawiają kłopot

Mariusz: Szereg geometryczny wygląda następująco

	1
∑n=0∞qnxn=		, |qx| < 1
	1−qx

	2x
więc funkcję tworzącą
	1+2x+2x2

rozkładasz w ten sposób

2x		A		B
	=		+
1+2x+2x2		1−λ1x		1−λ2x

tylko że tym razem λ₁ oraz λ₂ będą liczbami zespolonymi

Mariusz: Zapomniałem dodać że 1+2x+2x²=(1−λ₁x)(1−λ₂x)

Szkolniak:

	1		1
Wyszło mi cn=		(−1+i)n−		(−1−i)n
	i		i

Postudiuje w wolnym czasie jakąś teorię i dopiero potem się wezmę za te przykłady, bo tak to nie ma sensu i błądzę myślami nie wiadomo gdzie podczas robienia tych zadań Co zadanie to inny przypadek i już się gubię, co chwila tłumaczenia bym potrzebował Więc dzięki za pomoc

Mila: Dobrze, jeszcze zamień:

1
	=−i
i

Gdyby ciąg był taki: c_n+2=−2c_n+1+2c_n c₀ = 0, c₁=2 to zadanie byłoby prostsze.

Mariusz:

	π		π
Teraz U{1}{i] = −i = cos(−		)+isin(−		)
	2		2

	3		3
oraz −1+i = √2(cos(		π)+isin(		π)
	4		4

	3		3
−1−i = √2(cos(−		π)+isin(−		π)
	4		4

Pamiętajmy też że cosinus jest parzysty a sinus nieparzysty Mnożenie na postaci trygonometrycznej jest bardzo łatwe − argument liczby zespolonej ma podobne własności co logarytm problem w tym że nie zawsze da cię go bez arcusów znaleźć z₁z₂=|z₁||z₂|(cos(Arg(z₁)+Arg(z₂))+isin(Arg(z₁)+Arg(z₂)))

	Re(z)
cos(Arg(z)) =
	|z|

	Im(z)
sin(Arg(z)) =
	|z|

Analogicznie z potęgowaniem zⁿ = |z|ⁿ(cos(nArg(z))+isin(nArg(z)))

Mariusz: Szkolniak jeżeli chcesz ominąć liczby zespolone to spróbuj pokazać dwie rzeczy Niech F(x) będzie funkcją tworzącą ciągu f_n a G(x) będzie funkcją tworzącą ciągu g_n wtedy funkcja tworząca splotu tych dwóch ciągów jest iloczynem funkcji tworzących przy czym tutaj splot jest zdefiniowany za pomocą sumy a nie całki (f*g)(n)=∑_k=0ⁿf_kg_n−k Spróbuj pokazać że

	cos(θ)−a cos(ω−θ)x
funkcja tworząca ciągu ancos(ωn+θ) to
	1−2a cos(ω)x + a2x2

Szkolniak: Zaraz nad tym pomyślę Mariusz, ale raczej cienko to widzę że to pokażę Mam jeszcze jeden przykład i pytanie do Ciebie, czy dobrze jest to co zrobiłem do tej pory? A jeśli tak no to co dalej? Bo 2−x−x²=(x+2)(1−x) i czynnik '1−x' jest ok, ale co z 'x+2'? Jak to teraz poprowadzić? link: https://imgur.com/gallery/BwWfGlk

Szkolniak: Mila, Twój przykład: c_n+2=−2c_n+1+2c_n (c₀=0, c₁=2) C(x)=_n=0^∞∑c_nxⁿ=c₀+c₁x+_n=2^∞∑c_nxⁿ= =c₀+c₁x+x²*_n=0^∞∑c_n+2xⁿ= =2x+x²*_n=0^∞∑(−2c_n+1+2c_n)xⁿ= =2x+x²*_n=0^∞∑−2c_n+1xⁿ+x²*_n=0^∞∑2c_nxⁿ= =2x−2x*_n=0^∞∑c_n+1xⁿ⁺¹+2x²*_n=0^∞∑c_nxⁿ= =2x−2x*_n=1^∞∑c_nxⁿ+2x²C(x)= =2x−2x*_n=0^∞∑c_nxⁿ+2x²C(x)= =2x−2xC(x)+2x²C(x) C(x)=2x−2xC(x)+2x²C(x) C(x)+2xC(x)−2x²C(x)=2x C(x)(1+2x−2x²)=2x

	2x
C(x)=
	1+2x−2x2

1+2x−2x²=(1−αx)(1−βx) 1+2x−2x²=αβx²−(α+β)x+1 αβ=−2 ∧ α+β=−2 (β=−2−α) α(−2−α)=−2 −2α−α²+2=0 α²+2α−2=0 α²+2α=2 (α+1)²=3 |α+1|=√3 α+1=√3 v α+1=−√3

⎧	α=√3−1
⎩	b=−1−√3

v

⎧	α=−√3−1
⎩	b=√3−1

2x		A		B
	=		+
1+2x−2x2		1−αx		1−βx

2x(1−αx)(1−βx)=A(1+2x−2x²)(1−βx)+B(1+2x−2x²)(1−αx) (2x−2αx²)(1−βx)=(A+2Ax−2Ax²)(1−βx)+(B+2Bx−2Bx²)(1−αx) 2x−2βx²−2αx²+2αβx³=A−Aβx+2Ax−2Aβx²−2Ax²+2Aβx³+B−Bαx+2Bx−2Bαx²−2Bx²+2Bαx³ x³(2αβ)+x²(−2β−2α)+2x=x³(2Bα+2Aβ)+x²(−2B−2Bα−2A−2Aβ)+x(2A+2B−Bα−Aβ)+(A+B) 2αβ=2Bα+2Aβ ∧ −2β−2α=−2B−2Bα−2A−2Aβ ∧ 2=2A+2B−Bα−Aβ ∧ A=−B (A=−B −>) αβ=Bα−Bβ ∧ β+α=Bα−Bβ ∧ 2=−Bα+Bβ αβ=B(α−β) ∧ β+α=B(α−β) ∧ 2=B(β−α)

	αβ		α+β		2
B=		i B=		i B=
	α−β		α−β		β−α

	(√3−1)(−1−√3)		√3−1−1−√3
B=		i B=		i
	√3−1+1+√3		√3−1+1+√3

	2
B=
	−1−√3+1−√3

	1		1		1		1
B=−		i B=−		i B=−		, więc: A =
	√3		√3		√3		√3

	1		1		1		1
C(x)=		*		−		*
	√3		1−αx		√3		1−βx

	1		1
C(x)=		n=0∞∑αnxn−		n=0∞∑βnxn
	√3		√3

	1
C(x)=n=0∞∑[		(αn−βn)]xn
	√3

	1
odpowiedź: cn=		(αn−βn)
	√3

	1
cn=		((√3−1)n−(−1−√3)n)
	√3

Mila: Zgadza się. W Twoim rozwiązaniu w poprzedniej wersji po skorzystaniu z postaci trygonometrycznej będą rzeczywiste wartości wyrazów ciągu. 0, 2, −4, 4,0,.. Można kombinować dla parzystych n i nieparzystych. Czy miałeś polecenie, aby podać jawny wzór ciągu, czy tylko funkcję tworzącą.?

Szkolniak: Mila, czy mówiąc o postaci trygonometrycznej masz na myśli postać wzoru jawnego ciągu taką, jak podał Mariusz 11.07 22:42? Jesli tak to próbowałem dojść do tej postaci, ale chyba trochę namieszałem bo ciut się ona różniła od tej Mariusza, ale zaraz spróbuję ponownie Polecenie ogólnie było żeby znaleźć lim_n→infp_n, dlatego chciałem przy okazji poćwiczyć wyznaczanie wzoru jawnego ciągu A czy ta funkcja tworząca która mi wyszła jest ok?

Mariusz : Jeżeli chodzi o mnie to ja zdefiniowałbym funkcję tworzącą następująco P(x)=∑_n=1^∞p_nxⁿ natomiast wstawiając ją do równania rekurencyjnego zacząłbym sumowanie od n=3 Dlaczego zacząłbym zdefniowałbym funkcję tworzącą jako sumę szeregu potęgowego indeksowanego od jedynki ? Otóż pierwszym wyrazem ciągu p_n jest wyraz p₁ Dlaczego wstawiając funkcję tworzącą do równania rekurencyjnego zacząłbym sumowanie od n=3 Otóż rekurencja zachodzi od n=3

Mariusz : Szkolniak a nie miałeś czasem wyniku z sinusem czyli

	3
2(√2)n sin(		π n) ?
	4

bo jeśli tak to wynik też byłby dobry tyle że wyrażony inną funkcją trygonometryczną

Mila: Dobrze masz wyznaczoną funkcję tworzącą i wzór jawny też. To samo ma Mariusz. Do poćwiczenia wyznaczania funkcji tworzącej mogę podać przykłady bardziej przyjazne, które mam policzone, łącznie z wyznaczeniem wzoru jawnego ciągu.

Mariusz: p₁=a p₂=b

	1		1
pn=		pn−1+		pn−2
	2		2

P(x)=∑_n=1^∞p_nxⁿ

	1		1
∑n=3∞pnxn=∑n=3∞		pn−1xn+∑n=3∞		pn−2xn
	2		2

	x		x2
∑n=3∞pnxn=		(∑n=3∞pn−1xn−1)+		(∑n=3∞pn−2xn−2)
	2		2

	x		x2
∑n=3∞pnxn=		(∑n=2∞pnxn)+		(∑n=1∞pnxn)
	2		2

	x
∑n=1∞pnxn−ax−bx2=		(∑n=1∞pnxn−ax)
	2

	x2
+		(∑n=1∞pnxn)
	2

	x		x2
P(x)−ax−bx2=		(P(x)−ax)+		P(x)
	2		2

	x		x2		x2
P(x)(1−		−		)=ax+bx2−a
	2		2		2

	x		x2		a
P(x)(1−		−		)=ax+(b−		)x2
	2		2		2

	a   ax+(b− )x2   2
P(x) =
	x   x2   1− −   2   2

	a   ax+(b− )x2   2
P(x) =
	x   x2   9x2   1− + −   2   16   16

	a   ax+(b− )x2   2
P(x) =
	x   3   (1− )2−( x)2   4   4

	a   ax+(b− )x2   2
P(x) =
	x   3   x   3   (1− − x)(1− + x)   4   4   4   4

	a   ax+(b− )x2   2
P(x) =
	x   (1−x)(1+ )   2

a   ax+(b− )x2   2		Ax		1   − Bx   2
	=		+
x   (1−x)(1+ )   2		1−x		x   1+   2

	x		1		a
Ax(1+		)−		Bx(1−x)=ax+(b−		)x2
	2		2		2

	x		1		a
x(A(1+		)−		B(1−x))=x(a+(b−		)x)
	2		2		2

Przypadek gdy x=0 nas nie interesuje więc możemy przyjąć że

	x		1		a
A(1+		)−		B(1−x) = (a+(b−		)x)
	2		2		2

	1
A−		B = a
	2

1		1		a
	A+		B=b−
2		2		2

3		a
	A = b+
2		2

B = (2b−a)−A

	2b+a
A =
	3

	2b+a
B = (2b−a)−
	3

	2b+a
A =
	3

	4b−4a
B =
	3

	2b+a		x		4b−4a		1   (− x)   2
P(x) =		*		+		*
	3		1−x		3		1   1−(− x)   2

	2b+a		4b−4a		1
P(x) =		(∑n=1∞xn)+		(∑n=1∞(−		)nxn)
	3		3		2

	2b+a		4b−4a		1
P(x) = ∑n=1∞((		+		*(−		)n)xn)
	3		3		2

	2b+a		4b−4a		1
pn =		+		*(−		)n
	3		3		2

Szkolniak: ad 15.07 15:57 Mariusz Czyli ten błąd co ja popełniłem w swoim rozwiązaniu, to jakiej to jest w ogóle 'kategorii' błąd? Czy ja coś pominąłem w rozwiązaniu, czy jak to w ogóle wytłumaczyć to co tam źle zrobiłem? Bo nie ukrywam że coś tam w internecie próbowałem poszukać na temat tych funkcji tworzących i co to w ogóle jest, ale prawie nic nie ma i na razie tak na ślepo się opieram na samych obliczeniach Co do tej postaci funkcji w cosinusem lub sinusem to wyszło mi jeszcze coś innego, bodajże to

	π
było 2ncos(		(3n−2))
	2

Mila byłbym bardzo wdzięczny, na internecie mało co znajduje, a tak to nawet zaraz coś spróbuję zrobić jeśli wrzucisz

Mila: Nie mogę znaleźć przystępnych materiałów. Poznikało. Jutro poszukam. Teraz podaję proste przykłady. Podaj jawną postać wzoru, zastosuj funkcję tworzącą. 1) a_n=2a_n−1−a_n−2, a₀=3, a₁=2 0dp.a_n=3−n, funkcji tworzącej nie podaje. Nie pisz tu wszystkiego , tylko odpowiedź. 2) a_n=a_n−1+a_n−2−a_n−3 a₀=a₁=0, a₂=1 3) a_n=4a_n−1+3a_n−2−18a_n−3 a₀=2, a₁=7, a₂=49 Powodzenia.

Szkolniak: ad 1)

	−4x+3
funkcja tworząca : A(x)=
	(1−x)2

jawna postać : a_n=3−n

Szkolniak: ad 2)

	x2
A(x)=
	(1−x)2(1+x)

	3		1		1
an=−		+		(n+1)+		(−1)n
	4		2		4

Mila: (1 i 2 zadanie) − Zgadza się.

Szkolniak: ad 3)

	−15x2−x+2
A(x)=
	18x3−3x2−4x+1

	11		1
an=		*3n−		*(−2)n
	5		5

Ale to mi chyba nie wyszło, bo nie zgadza mi się wartość drugiego wyrazu.. Wychodzi mi 19, a powinno być 49

Mila: Mam w liczniku : 15x²−x+2, mianownik taki sam. ciąg: a_n=(−2)ⁿ+2n*3ⁿ+3ⁿ Jutro sprawdzę. wpisz w wolfram tak: a(n)=4a(n−1)+3a(n−2)−18a(n−3) , a(0)=2, a(1)=7, a(2)=49 Dobranoc

Szkolniak: Akurat rozwiązanie pisałem sobie tutaj na stronie, nie w zeszycie, więc zaraz wkleję je na nowo i przejrzę, może znajdę ten błąd Dobranoc i dziękuję za przykłady!

Szkolniak: Ok poszło Mila, teraz się zgadza

15x2−x+2		1		1		1
	=		−		+2*
18x3−3x2−4x+1		1+2x		1−3x		(1−3x)2

No i wzór ciągu (a_n) wyszedł jak u Ciebie. Poszukam teraz w internecie jakichś materiałów, może znajdę jakieś ciekawe zadania

Szkolniak: Mariusz, rozwiązałem teraz samodzielnie ten przykład z ciągiem (p_n) i porównałem z Twoim rozwiązaniem z 16 lipca o 2:09, mam tak samo jak Ty więc już to rozumiem I stąd swoją drogą ładnie idzie rozwiązać zadanie, bo treść była by znaleźć lim_n→infp_n, a

	2b+a
to widzimy że równe jest
	3

Mariusz: Co do funkcji tworzącej z Tutaj 19 lip 2022 00:52 masz takie możliwości 1. Zróżniczkować szereg geometryczny 2. Skorzystać z uogólnionego dwumianu Newtona 3. Skorzystać ze splotu

	x
Funkcja tworząca górnej silni to k!
	(1−x)k+1

Szkolniak: Mariusz, do tej pory takie przykłady podejrzałem rozwiązane u Ciebie, w jednym z wpisów korzystałeś właśnie z różniczkowania szeregu geometrycznego i sam w ten sposób tersz próbuję rozwiązywać takie przykłady Jeśli chodzi o Twój wpis 13 lipca o 2:17 to nie udało mi się tego pokazać, bo nawet nie wiem jak zacząć Jeśli jest wybór między tym a zespolonymi to wybrałbym zespolone, aż takiego wielkiego problemu mi one nie sprawiają Albo bym po prostu zostawił ten wzór w postaci zespolonej