Równanie kwadratowe z parametrem Raksi: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x−4)[x²+(m−3)x+m²−m−6]=0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ oraz x₃, spełniające warunek x₁x₂x₃> x₁²+x₂²+x₃²−5m−51 x₃ = 4 założenia Δ>0 i x₁≠4 i x₂≠4 oraz to z treści zadania. czy to wystarczy? Dla Δ>0 otrzymałem x∊(−3 ²₃, −3) Dla x₁≠4 otrzymałem x≠3±√17 i tutaj m<−5 ponieważ pierwiastek kwadratowy jest nieujemny Dla x₂ ≠4 otrzymałem x≠1±√3 dla m>5 Z warunku z treści zadania otrzymałem m∊(−∞,−2)∪(1,∞) czy są to poprawne rozwiązania?

wredulus_pospolitus: namieszałeś i to nieziemsko przy okazji sprawdzenia, aby to były różne rozwiązania, wystarczy policzyć: f(x) = x² + (m−3)x + (m²−m−6) f(4) ≠ 0 −−−> 16 + 4(m−3) + (m²−m−6) ≠ 0

Szkolniak: (1) (x−4)[x²+(m−3)x+m²−m−6]=0, x₃=4 (2) x²+(m−3)x+m²−m−6=0, x₁ oraz x₂ − rozwiązania tego równania Liczba 4 jest rozwiązaniem pierwotnego równania (1). Aby równanie (1) miało trzy różne rozwiązania, potrzeba, by równanie (2) miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdzie obydwa są różne od 4. A to zachodzi wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1^o Δ>0 ∧2^o f(4)≠0, gdzie f(x)=x²+(m−3)x+m²−m−6 Dodatkowy warunek z treści: ∧3^o 4x₁x₂>x₁²+x₂²+4²−5m−51

Raksi: no to super, o wiele prościej bo moje rozwiązanie bardzo mi się nie podoba. Dziękuję.