dowód algebraiczny Raksi: Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y, spełniona jest nierówność x⁴+y⁴>xy(x²+y²)

wredulus_pospolitus: x⁴ − 2(xy)² + y⁴ > xy(x²+y²) − 2(xy)² (x² − y²)² > xy(x² − 2xy + y²) (x−y)²(x+y)² > xy(x−y)² (x−y)²(x² + xy + y²) > 0 jeszcze ewentualnie komentarz dlaczego drugi nawias będzie dawał nam dodatnią wartość

chichi: To jak powinien wyglądać ten komentarz? Bo dowód jest licealny, ale gdy zostawiamy w postaci (...)² to wszystko jest jasne, ale w tym dowodzie uzasadnienie dodatniości wyrażenia z drugiego nawiasu dla mnie w tej postaci jest kluczowe, ale zdaje sobie sprawę z tego, że chyba tę kwestię zostawiłeś dla autora

Mariusz:

	1		3
x2+xy+y2 =		(x−y)2 +		(x+y)2
	4		4

Raksi: wredulus doszedłem do tej samej postaci końcowej i zastanawiałem się jak wykazać, że wyrażenie z drugiego nawiasu jest zawsze dodatnie.

Raksi: Mariusz czy możesz bardziej rozpisać sposób, w który tak ładnie zwinąłeś podane wyrażenie z drugiego nawiasu?

Mariusz:

	x+y		x−y
xy można zapisać w postaci różnicy kwadratów (		)2 − (		)2
	2		2

Łatwo zauważyć że w wyrażeniu (x−y)² mamy −2xy a w wyrażeniu (x+y)² mamy 2xy więc po dodaniu wyrazy z xy się zredukują

Raksi: Świetny sposób lecz ciężko jest na to wpaść. Czy jest jakiś inny prostszy licealny sposób?

chichi: traktując 'y' jako parametr mamy: x² + xy + y² = 0 Δ = y² − 4y² = −3y² no i co teraz możesz powiedzieć o tym wyróżniku i dalej o wartościach?

Raksi: Okej, świetny sposób. Delta zawsze ujemna czyli brak miejsc zerowych i nasze wyrażenie w drugim nawiasie podniesione do kwadratu jest zawsze dodatnie. Dziękuje. Za bardzo myślę utartymi schematami, żeby wpaść czasami na inne rzeczy.

wredulus_pospolitus: to teraz jeszcze jedno ... tym razem 'toporne' wyjście z sytuacji: x² + xy + y² = (x+y)² − xy = (x−y)² + 3xy i teraz: bez utraty ogólności możemy przyjąć, że |x| ≥ |y| 1) niech x*y ≥ 0 wtedy: x² + xy + y² = (x−y)² + 3xy ≥ (x−y)² > 0 2) niech x*y < 0 (i x ≠ −y), wtedy: x² + xy + y² = (x+y)² − xy ≥ (x+y)² > 0 3) niech x = −y x² + xy + y² = x² − x² + x² = x² > 0

Raksi: Tylko u nas nie ma kwadratu, ale funkcja f(x)=x²+xy+y² ma ramiona skierowane w górę i nie ma miejsc zerowych, ponieważ Δ<0, zatem przyjmuje zawsze wartości dodatnie.

Raksi: wredulus dziękuje za kolejny pomysł

Szkolniak: x⁴+y⁴>xy(x²+y²) x⁴+y⁴>x³y+xy³ | * 4 4x⁴+4y⁴>4x³y+4xy³ | + 6x²y² 4x⁴+6x²y²+4y⁴>4x³y+6x²y²+4xy³ x⁴−4x³y+6x²y²−4xy³+y⁴>6x²y²−3x⁴−3y⁴ (x−y)⁴+3(x⁴+y⁴)−6x²y²>0 (x−y)⁴+3(x⁴+y⁴−2x²y²)>0 (x−y)⁴+3(x²−y²)²>0 (x−y)⁴+3(x+y)²(x−y)²>0

Raksi: kolejny ciekawy sposób.

Raksi: wredulus czemu w 3. przypadku x²>0 ?

wredulus_pospolitus: bo x ≠ 0 (a musi być x≠ 0 bo w przeciwnym razie zachodziłoby x = −y = 0 −> x = y sprzeczne z założeniami zadania) ... więc x² > 0

Raksi: Rozumiem, dziękuje