Całka, całka nieoznaczona Szkolniak: Ma ktoś pomysł na tę całkę?

	arcsin2(x)
∫		dx
	x3

wredulus_pospolitus: bym to próbował ruszyć przez części:

	1
u = arcsin2x ; v' =
	x3

Szkolniak:

	arcsin2(x)		arcsin2(x)		arcsin(x)
∫		dx=−		+∫		dx
	x3		2x2		x2√1−x2

I teraz znów przez części może?

	1
u=arcsin(x) , v'=		, no i tutaj całka to na pierwszy rzut oka kojarzy mi się z
	x2√1−x2

całką z różniczki dwumianowej spróbuję w ten sposób

Szkolniak: coś tu wychodzi, ale liczę wolframem i się nie zgadza

	arcsin(x)		√1−x2		1
∫		dx=arcsin(x)*		−∫		dx
	x2√1−x2		|x|		|x|

jak biorę dodatni znak z wartości bezwzględnej to na wolframie wychodzi z minusem, więc nie wiem na jakiej zasadzie wybrać który znak koncowo mi wyszło :

	arcsin2(x)		arcsin2(x)		√1−x2
∫		dx=−		+arcsin(x)*		−ln|x|+C
	x3		2x2		x

Levante: Ja bym zrobił tak:

	arcsin2x		arcsin2x		√1−x2
∫		dx = ∫				dx
	x3		√1−x2		x3

Podstawienie: u = arcsin(x)

	1
du =		dx
	√1−x2

Całka:

	u2cos(u)
∫		du
	sin3(u)

IBP:

	cos(u)
f = u2 dg =		du
	sin3(u)

	1
df = 2u du g = −
	2sin2(u)

Całka:

	u2		u
−		+ ∫		du
	2sin2(u)		sin2(u)

IBP:

	1
f = u dg =		du
	sin2(u)

df = du g = −ctg(u) Całka:

	u2		u2
−		− uctg(u) + ∫ ctg(u) = −		− uctg(u) + ln(sin(u)) + C
	2sin2(u)		2sin2(u)

Ostatecznie:

	arcsin2x		arcsin2x
∫		dx = −		− arcsin(x)ctg(arcsin(x)) +
	x3		2sin2(arcsin(x))

ln(sin(arcsin(x))) + C Można to jeszcze uprościć [...].

Mariusz:

	1
∫		dx
	x2√1−x2

√1−x²=xt−1 1−x²=x²t²−2xt+1 −x²=x²t²−2xt x²t²+x²−2xt=0 x(xt²+x−2t)=0 x = 0 ∨ xt²+x−2t = 0 xt²+x−2t = 0 x(t²+1)−2t = 0 x(t²+1)=2t

	2t
x=
	t2+1

	2(t2+1)−2t*2t
dx=		dt
	(t2+1)2

	−2t2+2
dx =		dt
	(t2+1)2

	−2(t2−1)
dx =		dt
	(t2+1)2

√1−x²=xt−1

	2t2−(t2+1)
√1−x2=
	t2+1

	t2−1
√1−x2=
	t2+1

	(1+t2)2	t2+1	(−2)(t2−1)
∫				dt
	4t2	(t2−1)	(t2+1)2

	1		t2+1
=−		∫		dt
	2		t2

	1		1
=−		(∫dt + ∫		dt)
	2		t2

	1		1
=−		(t−		)+C
	2		t

	1	t2−1
=−			+C
	2	t

	t2−1
=−		+C
	2t

	t2−1		t2+1
=−		*		+C
	t2+1		2t

	√1−x2
=−		+C
	x

	arcsin2(x)
Całkę ∫		dx
	x3

można by policzyć całkując tylko przez części