Funkcja tworząca Kasia_x: Wyznacz funkcję tworzącą dla a_n=n²−n+1

Mariusz: Szereg geometryczny

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

Pochodna k. rzędu szeregu geometrycznego

d		d		1
	(∑n=0∞qnxn) =		(		)
dx		dx		1−qx

	−1
∑n=0∞nqnxn−1 =		(−q)
	(1−qx)2

	q
∑n=1∞nqnxn−1 =
	(1−qx)2

∑_n=0^∞(n+1)qⁿ⁺¹xⁿ = U{q}{(1−qx)² q(∑_n=0^∞(n+1)qⁿxⁿ) = U{q}{(1−qx)² ∑_n=0^∞(n+1)qⁿxⁿ = U{1}{(1−qx)²

d		d
	(∑n=0∞(n+1)qnxn) =		(U{1}{(1−qx)2)
dx		dx

	−2
∑n=0∞n(n+1)qnxn−1 =		(−q)
	(1−qx)3

	2q
∑n=1∞n(n+1)qnxn−1 =
	(1−qx)3

	2q
∑n=0∞(n+1)(n+2)qn+1xn =
	(1−qx)3

	2q
q(∑n=0∞(n+1)(n+2)qnxn) =
	(1−qx)3

	2
∑n=0∞(n+1)(n+2)qnxn =
	(1−qx)3

d		d		2
	(∑n=0∞(n+1)(n+2)qnxn) =		(		)
dx		dx		(1−qx)3

	(−3)
∑n=0∞n(n+1)(n+2)qnxn−1= 2 *		(−q)
	(1−qx)4

	3q
∑n=1∞n(n+1)(n+2)qnxn−1 = 2*
	(1−qx)4

	3q
∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)qn+1xn = 2*
	(1−qx)4

	3q
q(∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)qnxn) = 2*
	(1−qx)4

	2*3
∑n=0∞(n+1)(n+2)(n+3)qnxn =
	(1−qx)4

	k!
∑n=0∞(∏m=1k(n+m))qnxn =
	(1−qx)k+1

(n+1)(n+2)=n²+3n+2 (n+1)(n+2)−4(n+1)=n²−n−2 (n+1)(n+2)−4(n+1)+3 = n²−n+1

2		1		1
	−4*		+3*
(1−x)3		(1−x)2		1−x

2		4(1−x)		3(1−2x+x2)
	−		+
(1−x)3		(1−x)3		(1−x)3

2+4x−4+3x2−6x+3
(1−x)3

1−2x+3x2
(1−x)3

□: Z własności i praw działań: 1) Funkcja tworząca dla ciągu a_n=n²

	x*(x+1)
A1(x)=
	(1−x)3

2) Funkcja tworząca dla ciągu : b_n=−n

	−x
A2(x)=
	(1−x)2

3) Funkcja tworząca dla ciągu stałego; {1,1,1.....}

	1
A3(x)=
	1−x

===========

	x*(x+1)		−x		1
F(x)=		+		+
	(1−x)3		(1−x)2		1−x

	3x2−2x+1
F(x)=
	(1−x)3