Matematyka dyskretna Applesad: Wyznacz liczbę wszystkich całkowitych rozwiązań równania 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 19, przy założeniu, że 0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 8 dla 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4}. Widziałem tutaj podobne zadania, ale żadnego nie miało górnego zakresu i po prostu nie wiem jak to zrobić. Ktoś by coś pomógł?

getin: (8,8,3,0) (8,8,2,1) (8,7,4,0) (8,7,3,1) (8,7,2,2) (8,6,5,0) (8,6,4,1) (8,6,3,2) (8,5,5,1) (8,5,4,2) (8,5,3,3) (8,4,4,3) (7,7,5,0) (7,7,4,1) (7,7,3,2) (7,6,6,0) (7,6,5,1) (7,6,4,2) (7,6,3,3) (7,5,5,2) (7,5,4,3) (7,4,4,4) (6,6,6,1) (6,6,5,2) (6,6,4,3) (6,5,5,3) (6,5,4,4) (5,5,5,4) Jest 28 możliwości 9 z nich uwzględnia różne rozwiązania 16 uwzględnia że ta sama liczba występuje 2 razy w 3 przypadkach ta sama liczba występuje 3 razy

	4!		4!
Odp. 9*4! + 16*		+ 3*		= 216 + 192 + 12 = 420
	2!		3!

Mila: Metoda wyłączeń lub funkcja tworząca. Którą znasz z tych metod?

Mila: (*) 𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃ + 𝑥₄ = 19, przy założeniu, że 0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 8 dla 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4}. 1) Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych rozwiązań bez ograniczeń

19+4−1 4−1		22 3
	=

2) Zdarzenia przeciwne A'=A₁+A₂+A₃+A₄ gdzie :A_i: x_i≥9, 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4}. a) A₁− zdarzenie : x₁≥9 x₁+x₂+x₃+x₄=19−9 Liczba rozwiąząń równania: x₁+x₂+x₃+x₄=10

	10+4−1 4−1		13 3
|A1|=		=

|A₁|=|A₂|=..=|A₄| b) Dwie zmienne równocześnie ≥0 A₁∩A₂: x₁+x₂+x₃+x₄=19−9*2 X₁+x₂+x₃+x₄=1

	1+4−1 4−1		4 3
|A1∩A2|=		=		=4

Czy trzy zmienne mogą być równocześnie ≥9 x₁+x₂+x₃+x₄=19−9*3 X₁+x₂+x₃+x₄=−8 brak rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych c) Zliczamy zdarzenia przeciwne:

	4 2
|A1|+|A2|+|A3|+|A4|−		*(|Ai∩Ak|)= [i≠j ]

	13 3		4 2
=4*		−		*4=1144−24=1120

3) Liczba rozwiązań równania (*) z ograniczeniami:

22 3
	−1120=1540−1120=420

Wynik jak u Getina

Applesad: Dziękuje, a jakbyście to zrobili dla −3 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 5?

kerajs: Podstawienie t_i=x_i+3 przekształci równanie w t₁+t₂+t₃+t₄=19+3+3+3+3 gdzie 0≤ t_i ≤8. Pozostaje rozwiązać to ciut trudniejsze równanie dowolną z podanych metod.

Applesad: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 31 przy założeniu, że 0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 8 dla 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4}. 1) Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych rozwiązań bez ograniczeń (31+4−1)= (34) (4−1 ) (3 ) 2) Zdarzenia przeciwne A'=A1+A2+A3+A4 gdzie :Ai: xi≥9, 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4}. a) A1− zdarzenie : x1≥9 x1+x2+x3+x4=31−9 Liczba rozwiąząń równania: x1+x2+x3+x4=22 (22+4−1)=(16) (4−1 ) (3 ) |A1|=|A2|=..=|A4| b) Dwie zmienne równocześnie ≥0 A1∩A2: x1+x2+x3+x4=31−9*2 X1+x2+x3+x4=13 (13+4−1)=(16) (4−1 ) (3 ) Czy trzy zmienne mogą być równocześnie ≥9 x1+x2+x3+x4=31−9*3 X1+x2+x3+x4=4 (4+4−1)=(7) (4−1 ) (3) c) Zliczamy zdarzenia przeciwne: 4 * (34) − (4)*(16) − 4 * 35 = 5700 (3 ) (2) (3 ) 3) Liczba rozwiązań równania (*) z ograniczeniami: 5984 − 5700 = 284 Co w tym zrobiłem źle? Bo z tego co rozumiem dla −3 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 5 są tylko cztery możliwe rozwiązania takie, że x1+x2+x3+x4=19

Applesad: Dobra juz wiem, jakby ktoś był ciekawy to tam pllus minus jest na przemian, więc zliczanie zdarzenia przeciwnego wygląda tak: (4) * (25) − (4) * (16) + (4) * (7) = 5980 (1) (3 ) (2) (3 ) (3) (3) Liczba rozwiązań równania (*) z ograniczeniami: 5984 − 5980= 4

kerajs: Wow! A myślałem, że się poddasz i podam jedyne cztery rozwiązania, a tu taka niespodzianka. Brawo!