iloczyn dowolnej liczby n-cyfrowej
grzesiek: udowodnij, ze iloczyn cyfr dowolnej liczby n−cyfrowej, gdzie n≥2, jest mniejszy od tej liczby.
oczywiste ale jak to udowodnic?
6 mar 19:41
grzesiek: prosze.
7 mar 22:38
Jack: może z indukcji? Próbowałeś?
7 mar 22:49
Jack: a
n a
n−1 ... a
2 a
1 − nasza liczba
Dowód przez indukcję ze względu na n.
1. dla n=2.
a
2 * a
1 ≤ 10*a
2 +a
1 \: a
2
to jasne bo a
1<10. A a
2 różne od 0 bo mamy liczbę dwucyfrową.
2. zał. ind.
a
k * a
k−1*...*a
2*a
1 ≤ 10
k−1*a
k+....+10*a
2+a
1
3. teza
a
k+1*a
k * a
k−1*...*a
2*a
1 ≤ 10
k*a
k+1+10
k−1*a
k+....+10*a
2+a
1
Z zał. mamy:
a
k * a
k−1*...*a
2*a
1 ≤ 10
k−1*a
k+....+10*a
2+a
1
Dalej:
a
k * a
k−1*...*a
2*a
1 ≤ 10
k−1*a
k+....+10*a
2+a
1 \: a
k * a
k−1*...*a
2*a
1
| | 10k−1*ak | | a1 | |
1≤ |
| +... + |
|
|
| | ak* ak−1*...*a2*a1 | | ak * ak−1*...*a2*a1 | |
Mnożymy obie strony przez a
k+1
| | 10k−1 | | a1 | |
ak+1≤ ak+1* ( |
| +... + |
| )
|
| | ak−1*...*a2*a1 | | ak * ak−1*...*a2*a1 | |
Teraz skoro a
i<10 dla i∊{1,2,3,...,k}, to pierwszy wyraz w nawiasie po prawej strony
nierówności jest więszky od 1, czyli cały nawias większy od 1. Stąd prawa strona większa od
lewej. Zatem nierówność zachodzi dla a
k+1.
To kończy dowód. Tak bym to zrobił... ale niech ktoś to sprawdzi.
7 mar 23:31
Basia: Jest ok., ale można trochę bardziej przejrzyście to zapisać
7 mar 23:43
Jack: liczyłem, że spojrzysz
7 mar 23:44
Basia:
liczba ma postać
a
n*10
n+a
n−1*10
n−1+....+a
1*10+a
0
jeżeli przynajmniej jedno a
k=0 tw.jest oczywiste bo
a
0*..........*a
n=0<a
n*10
n+a
n−1*10
n−1+....+a
1*10+a
0
n=1
a
0*a
1 <10*a
1 (bo a
0<10) ≤ 10a
1+a
0
Z: L
n=a
n*a
n−1*.........*a
0 < a
n*10
n+a
n−1*10
n−1+....+a
1*10+a
0=S
n ⇔
T: L
n+1a
n+1*a
n*a
n−1*.........*a
0 <
a
n+1*10
n+1+a
n*10
n+a
n−1*10
n−1+....+a
1*10+a
0=S
n+1 ⇔
| | Sn+1 | | Sn+10n+1an+1 | |
|
| = |
| = |
| | Ln+1 | | Ln*an+1 | |
| | Sn | | 1 | | 10n+1 | |
|
| * |
| + |
| > |
| | Ln | | an+1 | | Ln | |
| | 1 | | 10n+1 | |
1* |
| + |
| = 10+110 > 1 |
| | 10 | | 10n | |
a bo ja wiem czy to bardziej czytelne ?
8 mar 00:11
Basia: ostatni wiersz:
| | 1 | | 10n+1 | |
1* |
| + |
| =1,1>1 |
| | 10 | | 10n+1 | |
8 mar 00:13
Jack: Zapis uprościłaś ale tymi oznaczeniami być może przypadkiem wprowadziłaś niejasności (dla kogoś
kto woli mieć bez skrótów itp). Mnie się w każdym razie podoba
8 mar 00:16
Basia: 
8 mar 00:23
grzesiek: a nie da się jakoś prosciej?
12 mar 16:20