metody numeryczne Filip: Witam, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadań 1. Proszę rozwiązać algebraiczny układ równań stosując metodę dekompozycji LU x₁−x₂−x₃=1 −x₁+x₂−x₃=2 −x₁+x₂+x₃=−1 2. Należy ocenić zbieżność algorytmu iteracyjnego wyznaczania wartości pierwiastka siódmego stopnia z a(x=⁷√a), o postaci

	1		a
xi+1=		(6xi+		)
	7		x6i

3. Na przykładzie macierzy A=[{10,−1},{1,1}] Należy sprawdzić prawdziwość poszczególnych relacji ||A||₁; ||A||₂; ||A||_∞≤||A||_F 4. Należy wyznaczyć numerycznie wartość całki, stosując dwu i trójpunktowe całkowanie z zastosowaniem metody Gaussa−Legendre'a I = ∫₀^πsinx dx Proszę przedyskutować błędu uzyskiwane przy zastosowaniu tych kwadratur

Filip: Utknąłem na zwalonych metodach numerycznych i potrzebuje pomocy....

Mila: Macierze eliminacji i dekompozycji LU Bardzo ładnie wyjaśnione− czasochłonne. https://www.youtube.com/watch?v=-A0s3ypP2Fg Drugi film jest z rozwiązaniem układu równań.

Mariusz: Filip bawisz się metodami numerycznymi ? Wg mnie rozkład LU jest lepiej opisany na ważniaku https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN05 Są wprawdzie literówki i nie reagują jak się do nich napisze na marudę ale te literówki łatwo wyłapać Na ważniaku nie używają mnożenia przez macierze operacji elementarnych a ich pseudokod jest łatwy do zapisania w ulubionym języku programowania

Mila: Mariusz w drugim filmie pokazane jak rozwiązać układ równań. Nie trzeba mnożyć macierzy , wyjaśnione jak utworzyć macierz L mając macierze przekształceń.

Mariusz: Mila to twój filmik ? Nie trzeba mnożyć macierzy tak to czym są macierze E i te iloczyny Na ważniaku jest to lepiej przedstawione , byłoby idealnie gdyby poprawili te literówki Poza tym rozkład LU to tylko jedno z zadań Może coś napiszesz o pozostałych Ja miałem Matematykę komputerową z Maple zamiast metod numerycznych więc dużo nie napiszę na ten temat Z programów z metod numerycznych które sam napisałem miałbym Rozwiązywanie układów równań liniowych rozkład LU metoda Gaussa−Seidela Interpolacja Współczynniki wielomianu interpolacyjnego metodą Lagrange Współczynniki wielomianu interpolacyjnego metodą różnic dzielonych Newtona Całkowanie numeryczne Obliczanie przybliżonej wartości całki oznaczonej metodą trapezów Zagadnienie własne Odwrotna metoda potęgowa z przesunięciem do wyznaczenia pary własnej dla wartości własnej najbliższej przesunięciu Do odwrotnej metody potęgowej pasuje iloraz Rayleigha jako przesunięcie Metoda QR do znajdowania wszystkich wartości własnych Do redukcji macierzy do postaci Hessenberga (Górna macierz Hessenberga jest postaci U+T , gdzie U to macierz trójkątna górna a T to macierz trójdiagonalna) użyłem metody eliminacji Gaussa (Dla zachowania podobieństwa macierzy trzeba było wykonywać operacje jednocześnie na wierszach i kolumnach) Jeśli chodzi o rozkład QR to rozpisałem lewostronne i prawostronne mnożenie macierzy przez macierze obrotów Problematyczne dla mnie jest dobranie odpowiedniego przesunięcia i nie mam pomysłu na deflacje Może gdyby napisać metodę QR blokowo to jakoś łatwiej można by było zrealizować tę deflację Zauważyłem że dla wielokrotnych wartości własnych metoda QR jest bardzo wolno zbieżna

Mila: Tu masz proste przykłady i skrócony zapis. https://www.youtube.com/watch?v=UlWcofkUDDU

Mariusz: Tutaj nie uwzględniają wyboru elementu głównego a Filipowi chodzi o metody numeryczne i tutaj nawet jeśli nie trzeba zamieniać wierszy warto to zrobić dla zminimalizowania błędu Jeżeli macierz jest silnie diagonalnie dominująca wtedy nie potrzeba zamieniać wierszy Co z pozostałymi zadaniami np w 2 wygląda na zbieżność kwadratową Ten algorytm z zadania 2 wygląda na metodę stycznych Newtona dla równania x⁷− a = 0

Filip: to drugie chyba bede w stanie zrobic zaraz, bo tam pochodne chyba trzeba liczyc

Mila: Pierwsze zadanie. Układ dobrze zapisałeś Filipie?. Popatrz na pierwsze i trzecie równanie. Opanowałeś metodę?

Mariusz: x₁−x₂−x₃=1 −x₁+x₂−x₃=2 −x₁+x₂+x₃=−1 x₁−x₂−x₃ −2x₃ 0 L = 1 0 0 −1 1 0 −1 0 1 U = 1 −1 −1 0 0 −2 0 0 0 Rozkład istnieje choć układ równań jest nieoznaczony y₁=1 −y₁+y₂=2 −y₁+y₃=−1 y₁=1 −1+y₂=2 −1+y₃=−1 y₁=1 y₂=3 y₃=0 x₁−x₂−x₃=1 −2x₃ = 3 0=0

	3
x3=−
	2

Teraz mamy wybór albo za x₁ przyjąć jakiś parametr albo za x₂ przyjąć jakiś parametr

	3
x3=−
	2

x₁ = p

	3
−x2 = 1−		−p
	2

x₁ = p

	1
x2=		+p
	2

	3
x3 = −
	2

Maciess: Ocenić zbieżność to znaczy podać rząd metody czy wyznaczyć przedział dla punktu początkowego, który zagwarantuje zbieżność? Jeśli dalej masz problem z tymi zadankami to daj znać, mógłbym coś pomóc.