Równanie różniczkowe Biwcn: Wyznacz rozwiązanie równania różniczkowego y(0)=1, y'(0)=(−1) y''(x)+3y'(x)+2y(x)=0

wredulus_pospolitus: r² + 3r + 2 = 0 rozwiązujesz i później wstawiasz warunki początkowe

Mariusz: y''(x)+3y'(x)+2y(x)=0 , y(0) = 1, y'(0)=−1 Warunki początkowe pasują do metody operatorowej (z wykorzystaniem przekształcenia Laplace) ∫f''(t)e^−stdt = f'(t)e^−st|₀^∞ − ∫−sf'(t)e^−stdt ∫f''(t)e^−stdt = 0 − f'(0) +s∫f'(t)e^−stdt ∫f''(t)e^−stdt = − f'(0) +s∫f'(t)e^−stdt ∫f'(t)e^−stdt = f(t)e^−st|₀^∞ −∫−sf(t)e^−stdt ∫f'(t)e^−stdt = 0 − f(0) + s∫f(t)e^−stdt ∫f'(t)e^−stdt = − f(0) + s∫f(t)e^−stdt ∫f''(t)e^−stdt = − f'(0) +s(− f(0) + s∫f(t)e^−stdt) ∫f''(t)e^−stdt = − f'(0) − sf(0) + s²∫f(t)e^−stdt (1 − s + s²Y(s)) + 3(−1 + sY(s)) + 2Y(s)=0 1 − s −3 +(s²+3s+2)Y(s) = 0 (s²+3s+2)Y(s) = s+2

	s+2
Y(s)=
	(s+2)(s+1)

	1
Y(s)=
	s+1

y(t) = e^−t Wredulus trochę mało napisałeś, mogłeś chociaż napisać skąd się wzięło równanie które zapisałeś

Szkolniak: Mariusz tam co pisałeś do mnie o tej metodzie całkowania funkcji wymiernych to przejrzę w wolnym czasie, trochę dużo tego napisałeś i na razie nie mam na tyle czasu aby się w to zagłębiać Bo trochę olałem temat i Ci nie odpisałem, ale w sumie z całkami też przystopowałem i z sama nauką

Mariusz: Piszesz o wydzieleniu części wymiernej całki sposobem Ostrogradskiego Po zoptymalizowaniu tej metody będziesz miał tyle samo współczynników co w przypadku rozkładu na sumę ułamków prostych a już nie będziesz musiał stosować wzoru redukcyjnego Napiszmy o co w tej metodzie chodzi aby inni użytkownicy forum też wiedzieli o czym piszemy

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

L(x), L₁(x) , L₂(x),M(x), M₁(x) , M₂(x) są wielomianami Stopnie liczników są mniejsze od stopni odpowiadających im mianowników M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) Jeżeli mamy gotowy rozkład mianownika na czynniki to M₂(x) będzie miał te same czynniki co M(x) tyle że pojedyncze a mając M₂(x) łatwo znaleźć M₁(x)

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

d		L(x)		d		L1(x)		L2(x)
	(∫		dx) =		(		+∫		dx)
dx		M(x)		dx		M1(x)		M2(x)

d		L(x)		d		L1(x)		d		L2(x)
	(∫		dx) =		(		)+		(∫		dx)
dx		M(x)		dx		M1(x)		dx		M2(x)

L(x)		L1'(x)M1(x)−L1(x)M1'(x)		L2(x)
	=		+
M(x)		M12(x)		M2(x)

L(x)
	=
M(x)

L1'(x)M1(x)M2(x) − L1(x)M1'(x)M2(x)+L2(x)M12(x)
M12(x)M2(x)

L(x)
	=
M(x)

L1'(x)M1(x)M2(x) − L1(x)M1'(x)M2(x) + L2(x)M12(x)
M(x)M1(x)

L(x)
	=
M(x)

	M1'(x)
U{M1(x)(L1'(x)M2(x) − L1(x)M2(x)		+
	M1(x)

L₂(x)M₁(x))}{M(x)M₁(x)}

	M1'(x)
Niech H(x) = M2(x)
	M1(x)

L(x)		M1(x)(L1'(x)M2(x) − L1(x)H(x) + L2(x)M1(x))
	=
M(x)		M(x)M1(x)

L(x)		(L1'(x)M2(x) − L1(x)H(x) + L2(x)M1(x))
	=
M(x)		M(x)

L(x) = L₁'(x)M₂(x) − L₁(x)H(x) + L₂(x)M₁(x)

	M1'(x)
Spróbuj pokazać że H(x) = M2(x)
	M1(x)

zawsze będzie wielomianem (Nie powinno być to trudne)