Męczę się od dłuższego czasu z taką całką, pomocy: Andrzej: ∫√1 − 4x²dx

wredulus_pospolitus: Krok 1: przez części: u' = 1 ; v = √1−4x² Krok 2: przed podstawienie: 2x = sin t ewentualnie kroki możesz na odwrót dać

Mariusz: Zależy jakie funkcje pierwotne sobie stablicujemy Przez części pomysł całkiem dobry ale wtedy dostajemy całkę

	−4x2
∫√1−4x2dx=x√1−4x2−∫		dx
	√1−4x2

	1−4x2		1
∫√1−4x2dx=x√1−4x2−∫		dx+∫		dx
	√1−4x2		√1−4x2

	1
2∫√1−4x2dx=x√1−4x2+∫		dx
	√1−4x2

Teraz można podstawić t=2x Można od razu podstawić 2x = sin(t) i zamienić cos²(t) na cos(2t) Choć do obliczeń w pamięci i tak wygodniej by było sobie wyprowadzić wzór redukcyjny na ∫cosⁿ(x)dx całkując przez części oraz korzystając z jedynki trygonometrycznej

chichi: Na upartego można tutaj zastosować 3 podstawienie Eulera, ale ostrzegam bo będzie to karkołomna zabawa. Jeżeli chodzi o łatwe policzenie tej całki to przepis znajdziesz w linku poniżej https://www.sfu.ca/math-coursenotes/Math%20158%20Course%20Notes/sec_Trig_Sub.html

Mariusz: Jeżeli funkcję pierwotną utożsamimy z funkcją górnej granicy całkowania F(x)=∫₀^x√1−4t²dt to będziemy mieli sumę pól trójkąta i wycinka kołowego Po trzecim podstawieniu Eulera dostaniemy całkę ∫√1−4x²dx √1−4x²=(1−2x)t 1−4x² = (1−2x)²t² (1−2x)(1+2x)= (1−2x)²t² 1+2x = (1−2x)t² 1+2x =t² − 2xt² 2x+2xt²=t²−1 x(2+2t²)=t²−1

	1	t2−1
x =
	2	t2+1

	1		t2+1		2
x =		(		−		)
	2		t2+1		t2+1

	1		1
x =		−
	2		t2+1

	2t
dx =		dt
	(t2+1)2

	2
√1−4x2=(1−(1−		))t
	t2+1

	2t
√1−4x2=
	t2+1

	2t	2t
∫			dt
	(t2+1)	(t2+1)2

	4t2
∫		dt
	(t2+1)3

Jak widać stosując podstawienie Eulera sprowadziliśmy całkę do całki z funkcji wymiernej ale będziemy mieli dwa całkowania przez części zamiast jednego

	4t		t		1
∫t		dt = −		+∫		dt
	(t2+1)3		(t2+1)2		(t2+1)2

	4t2		t		1+t2		1		(−2t)
∫		dt = −		+∫		dt +∫		t		dt
	(t2+1)3		(t2+1)2		(t2+1)2		2		(t2+1)2

	4t2		t		1		1	t
∫		dt = −		+∫		dt +			−
	(t2+1)3		(t2+1)2		t2+1		2	t2+1

	1		1
		∫		dt
	2		t2+1

	4t2		t		1	t		1		1
∫		dt = −		+			+		∫		dt
	(t2+1)3		(t2+1)2		2	t2+1		2		t2+1

	4t2		t		1	t		1
∫		dt = −		+			+		arctg(t)+C
	(t2+1)3		(t2+1)2		2	t2+1		2

	4t2		t		1		1		1
∫		dt =		(		−		)+		arctg(t)+C
	(t2+1)3		t2+1		2		t2+1		2

	4t2		1	2t		1		1		1
∫		dt =			(		−		)+		arctg(t)+C
	(t2+1)3		2	t2+1		2		t2+1		2

	4t2		1		1		√1−4x2
∫		dt =		x√1−4x2+		arctg(		)+C
	(t2+1)3		2		2		1−2x

Mila:

	1
1) ∫√1−4x2dx=		∫√1−t2dt=..
	2

[2x=t, 2dx=dt} 2)

	1−t2		1		−t2
J= ∫√1−t2 dt=∫		=∫		dt +∫		dt=
	√1−t2		√1−t2		√1−t2

	1		−2t
=arcsin(t)+		∫t*		dt = całkę przez części
	2		√1−t2

	−2t		−2t
[u=t, du=dt, dv=		dt , v=∫		dt⇔v=2√1−t2]
	√1−t2		√1−t2

	1		−2t		1
3) J1=		∫t*		dt =		*[t*2√1−t2−∫2√1−t2dt]=t√1−t2−∫√1−t2 dt
	2		√1−t2		2

4) Wracam do (2) ∫√1−t²=arcsin(t)+t√1−t²−∫√1−t² dt ⇔ 2∫√1−t² dt=arcsin(t)+t√1−t²

	1		1
∫√1−t2dt=		arcsin(t)+		t√1−t2
	2		2

5) wracam do (1)

	1		1		1
∫√1−4x2dx=		∫√1−t2}dt=		arcsin(t)+		t*√1−t2=
	2		4		4

	1		1
=		arcsin(2x)+		x√1−4x2+C
	4		2

===========================