transformata laplacea Jigsaw666: [transformata Laplace'a] Wyznaczyć oryginał funkcji: 1/(s(s−2)²)

Mariusz: Masz kilka możliwości 1. Rozkład na sumę ułamków prostych 2. Residua 3. Splot

Mariusz:

1		A		B		C
	=		+		+
s(s−2)2		s		s−2		(s−2)2

1=A(s−2)²+Bs(s−2)+Cs 1=A(s²−4s+4)+B(s²−2s)+Cs A+B=0 −4A−2B+C=0 4A=1

	1
A=
	4

	1
B=−
	4

C=4A+2B

	1
A=
	4

	1
B=−
	4

	1
C=1−
	2

	1
A=
	4

	1
B=−
	4

	1
C=
	2

1		1	1		1	1		1	1
	=			−			+
s(s−2)2		4	s		4	s−2		2	(s−2)2

1		1		1
	−		e2t+		te2t
4		4		2

	1		1
=		+		(2t−1)e2t
	4		4

Mariusz: Jeżeli chodzi o residua to

	1
Niech F(s)=
	s(s−2)2

s=0 jest pojedynczym biegunem i dla niego liczysz granicę lim_s→0sF(s)e^st s=2 jest podwójnym biegunem i dla niego liczysz granicę

	δ
lims→0		((s−2)2F(s)est)
	δs

Wynikiem będzie suma residuów Jeżeli chodzi o splot to korzystasz z twierdzenia Borela o splocie i liczysz co najwyżej dwie całki f(t) * g(t) = ∫₀^tf(τ)g(t−τ)dτ pierwszy raz dla funkcji f(t)=1(t) , g(t)=e^2t drugi raz dla funkcji f(t) = (1(t) * e^2t) , g(t) = e^2t Gdy skorzystasz z przesunięcia to wystarczy jedno całkowanie f(t) * g(t) gdzie f(t) = 1(t) oraz g(t)=te^2t czyli masz do policzenia całkę ∫₀^t(t−τ)e^2(t−τ)dτ

Mariusz:

	δ
lims→0		((s−2)2F(s)est)
	δs

Tutaj mały błąd będący pozostałością po kopiuj wklej z granicy dla poprzedniego bieguna Oczywiście s powinno dążyć do bieguna czyli akurat tutaj do dwójki

	δ
lims→2		((s−2)2F(s)est)
	δs

Jigsaw666: Dziękuję

Jigsaw666: A co byś powiedział na coś takiego: F(s) =9/[(s²+9)²]=(3/(s²+3²)² i tutaj dochodzę do postaci na którą byłby w tablicach wzór, gdyby nie to, że to jest podniesione do kwadratu. W kolejnych zadaniach mam sporo takich przypadków, co wówczas zrobić?

jc: Możesz skorzystać ze wzoru F ' (s) = − L{t f(t) } lub z liczb zespolonych

1		1		1		1
	=		(		−		)
s2+9		6i		s−3i		s+3i

	1		1		1		1		2
(		)2 = −		(		+		−		)
	s2+9		36		(s−3i)2		(s+3i)2		s2+9

	1		2
oryginał = −		(t e3it + t e−3it −		sin 3t)=
	36		3

	1		2
=		(		sin 3t − 2t cos 3t)
	36		3

Na koniec pomnóż wynik przez 9.

Mariusz:

3
(s2+32)2

Tutaj zarówno rozkład na sumę ułamków prostych jak i metoda residuów będą wymagały użycia liczb zespolonych Jeżeli chcesz pozostać przy liczbach rzeczywistych to zostaje twierdzenie Borela o splocie lub różniczkowanie obrazu podane wyżej przez jc Aby uzasadnić poprawność wzorku podanego przez jc trzeba by skorzystać ze wzoru Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki

Mariusz:

3		1	3	3
	=
(s2+32)2		3	s2+32	s2+32

=sin(3t) * sin(3t) = ∫₀^tsin(3τ)sin(3(t−τ))dτ

	1
=		∫0t(cos(6τ − 3t) − cos(3t))dτ
	2

	1		1
=		∫0tcos(6τ − 3t)dτ −		∫0tcos(3t)dτ
	2		2

	1		1
=		sin(6τ − 3t)|0t −		τcos(3t)|0t
	12		2

	1		1		1
=		sin(3t)−		sin(−3t)−		tcos(3t)
	12		12		2

	1		1
=−		tcos(3t)+		sin(3t)
	2		6

Jigsaw666: Dzięki!