zależności rekurencyjne Piotr: Wyznaczyć rozwiązanie rekurencji: a_n = a_n−1 + a_n−2 − 2a_n−3 Poproszę o jak najprostsze wytlumaczenie mi tego zadania.

Mila: Warunki początkowe masz podane?

Piotr: Nie

Mila: 1) Należy rozwiązać równanie charakterystyczne. x³=x²+x−2 Problem polega na tym,że trudno znaleźć rozwiązania− są niewymierne i kłopotliwe jest ich wyznaczenie. 2) Natomiast dla równania : a_n =2 a_n−1 + a_n−2 − 2a_n−3 mamy równanie charakterystyczne: a) x³−2x²−x+2=0 x²*(x−2)−(x−2)=0 (x−2)*(x²−1)=0 x=2 lub x=1 lub x=−1 Wtedy: b) a_n=A*2ⁿ+B*(−1)ⁿ+C*(1)ⁿ⇔ a_n=A*2ⁿ+B*(−1)ⁿ+C ================ A,B,C − stałe , które możemy wyznaczyć mając warunki początkowe. c) Np. a₀=0, a₁=1, a₂=9 a₀=1=A*2⁰+B*(−1)⁰+C⇔ A+B+C=0 a₁=1=A*2¹+B*(−1)¹+C⇒ 2A−B+C=1 a₂=9=A*2²+B*(−1)²+C⇔ 4A+B+C=9 Rozwiązując układ równań: A+B+C=0 2A−B+C=1 4A+B+C=9 mamy: A=3, B=1, C=−4 stąd a_n=3*2ⁿ+(−1)ⁿ−4 ===============