Wzór rekurencyjny kropka: Znając ciąg jawny a_n = 2 + (−1)ⁿ podaj wzór rekurencyjny uwzględniając a₀ = 3, a₁ = 1.

I'm back: Najprosciej: a_n = a_n−2

kropka: Ok, dzięki. Jak mogę to wykazać? Próbowałem jakoś tak, ale nie wiem jak dalej xD a_n = 2 + (−1)ⁿ a₀ = 2 + (−1)⁰ = 3 a₁ = 2 + (−1)¹ = 1 a₂ = 2 + (−1)² = 3 a₃ = 2 + (−1)³ = 1 a_n+1 = 2 + (−1)^{(n + 1)} = 2 + [−1ⁿ * (−1)¹] = 2 − (−1)ⁿ a_n+2 = 2 + (−1)⁽ⁿ⁺²⁾ = 2 + (−1)ⁿ a_n+1 = 1, dla n = 2k, k∊N a_n+1 = 3, dla n = 2k+1, k∊N a_n+2 = 3, dla n = 2k, k∊N a_n+2 = 1, dla n = 2k+1, k∊N

Mariusz:

	2		1
A(x)=		+
	1−x		1+x

	2+2x+1−x
A(x)=
	(1−x)(1+x)

	3+x
A(x)=
	(1−x2)

(1−x²)A(x)=3+x A(x)−3−x = x²A(x) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−3−x = x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=2^∞a_nxⁿ = x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=2^∞a_nxⁿ = ∑_n=2^∞a_n−2xⁿ a_n = a_n−2 czyli tak jak to podał Artur

kerajs: a_n=a_n−1+2(−1)ⁿ a_n=(−1)ⁿ(a_n−2−a_n−1+1)

Mariusz: a₀=3, a₁=1 ∑_n=2^∞a_nxⁿ = ∑_n=2a_n−2(−1)ⁿxⁿ−∑_n=2^∞a_n−1(−1)ⁿxⁿ+ ∑_n=2^∞(−1)ⁿxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ = x²(∑_n=2^∞a_n−2(−1)²(−x)ⁿ⁻²)−x(∑_n=2^∞a_n−1(−1)(−x)ⁿ⁻¹)

	x2
+
	1+x

∑_n=2^∞a_nxⁿ = x²(∑_n=0^∞a_n(−x)ⁿ)+x(∑_n=1^∞a_n(−x)ⁿ)

	x2
+
	1+x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−3−x = x²(∑_n=0^∞a_n(−x)ⁿ)+x(∑_n=0^∞a_n(−x)ⁿ−3)

	x2
+
	1+x

	x2
A(x)−3−x=x2A(−x)+xA(−x)−3x+
	1+x

	x2
A(x)=(x2+x)A(−x)+3−2x+
	1+x

	3+3x−2x−2x2+x2
A(x)=(x2+x)A(−x)+
	1+x

	3+x−x2
A(x)=(x2+x)A(−x)+
	1+x

	3+x−x2
A(x)=(x2+x)A(−x)+
	1+x

	3−x−x2
A(−x)=(x2−x)A(x)+
	1−x

	3−x−x2		3+x−x2
A(x)=(x2+x)((x2−x)A(x)+		)+
	1−x		1+x

	(x2+x)(3−x−x2)		3+x−x2
A(x)=(x4−x2)A(x)+		+
	1−x		1+x

	(1+x)(x2+x)(3−x−x2)+(1−x)(3+x−x2)
A(x)(1+x2−x4)=
	1−x2

	(1+x)(x2+x)(3−x−x2)+(1−x)(3+x−x2)
A(x)=
	(1−x2)(1+x2−x4)

Funkcja tworząca się skróci więc dostaniemy to samo tyle że tutaj został wymyślony bardziej skomplikowany wzór rekurencyjny