Arytmetyka modularna, 10^10^10^10^10 mod 13 styrany: Niech Z0=10 i Zn = 10^Z(n−1) dla n≥1. Wyznacz Zn mod 13 dla n≤5

kerajs: 10¹0 mod 13=(−3)¹0 mod 13=9⁵ mod 13=(−4)⁵ mod 13= =(−4)*16² mod 13=−4*3² mod 13=−36 mod 13=3 10¹0¹0 mod 13=10³ mod 13=−27 mod 13=12 10¹0¹0¹0 mod 13 = 10¹2 mod 13=1 z MTF 10¹0¹0¹0¹0 mod 13 = 10¹=10

kerajs: Ech ten wspaniały edytor. 10¹⁰ mod 13=(−3)¹⁰ mod 13=9⁵ mod 13=(−4)⁵ mod 13= =(−4)*16² mod 13=−4*32 mod 13=−36 mod 13=3 10¹⁰¹⁰ mod 13=10³ mod 13=−27 mod 13=12 10¹⁰¹⁰¹⁰ mod 13 = 10¹² mod 13=1 z MTF 10^10101010 mod 13 = 10¹=10

styrany: Mógłbyś rozpisać/podać wzory jak doszedłeś z 10¹⁰¹⁰ do 10³?

wredulus_pospolitus: masz pierwsze dwie linijki

styrany: Tzn tą samą metodą wymnażania aż dojdziemy do 10³? Czy po prostu wynik modulo wykładnika można podstawić jako wykładnik liczby? Z tego co rozumiem to 10^xmod(n) != 10^{x mod(n)}mod(n). Czy się mylę?

styrany: Dodatkowo wolframalpha dla 10¹⁰¹⁰mod13 jako wynik podaje 3. Niestety nie podaje jak dojść do wyniku.

kerajs: Ech, Genua i Blamage. Ależ popłynąłem na tym potęgowaniu. Początek był dobry. Z(1) mod 13= 10¹⁰ mod 13 = 3 Ponadto 3¹⁰ mod 13 =3 Z(2) mod 13=10¹⁰¹⁰ mod 13=10^10*109 mod 13=(10¹⁰)¹⁰⁹ mod 13= =(3)¹⁰⁹=3^10*108 mod 13=(3¹⁰)¹⁰⁸ mod 13 =(3)¹⁰⁸mod 13=....= 3¹⁰mod 13=3 Analogicznie Z(n) mod 13=3

styrany: Powoli wszystko zaczyna się układać. Mógłbyś rozpisać jeszcze Z(3)? Moje przekształcenia wyglądają tak: 10¹⁰¹⁰¹⁰ = 10^1010*109 = 10^(1010)109... Z tych przekształceń wychodzi wykładnik na którym nie mogę bezpośrednio wykonać działania modulo.

kerajs: 10¹⁰¹⁰¹⁰=(10¹⁰)^101010−1 10¹⁰¹⁰¹⁰ mod 13=(10¹⁰)^101010−1 mod 13=(3)^101010−1 mod 13= =(3¹⁰)^101010−2 mod 13=(3)^101010−2 mod 13=...........................= =3¹⁰ mod 13=3

styrany: Super! Teraz już wszystko jasne dziękuję bardzo