Min i max funkcji dwóch zmiennych StudentH: Niech K = { (x,y) ∊ R² : 0≤x≤1, 0≤y≤2 } i niech f(x,y)=x² + y − xy² . Znajdź maximum i minimum funkcji f w zbiorze K.

Stranger: Raczej wartość największą i najmniejszą funkcji w zbiorze. f(x,y) = x² + y − xy² Najpierw badamy wewnątrz zbioru K. Pochodne cząstkowe:

∂f
	= 2x − y2
∂x

∂f
	= 1 − 2xy
∂y

Szukamy punktów stacjonarnych: 2x − y² = 0 1 − 2xy = 0 Stąd:

	1
P1 = (		, 1)
	2

Teraz badamy brzegi zbioru K: Od razu weźmy wierzchołki tego prostokąta, aby nie bawić się w brzegi dla każdej funkcji: P₂ = (0,0), P₃ = (1,0), P₄ = (0,2), P₅ = (1,2) Dla x = 0 i y ∊ <0, 2> mamy f(0,y) = y. Niech g(y) = y. Wtedy g'(y) = 0 ⇔ y ∊ ∅. Dla x = 1 i y ∊ <0, 2> mamy f(1,y) = −y² + y + 1.

	1
Niech h(y) = −y2 + y + 1. Wtedy h'(y) = 0 ⇔ −2y + 1 = 0 ⇔ y =		∊ <0, 2>.
	2

	1
P6 = (1,		)
	2

Dla y = 0 i x ∊ <0,1> mamy f(x,0) = x². Niech p(x) = x². Wtedy p'(x) = 0 ⇔ x = 0 ∊ <0,1>. Ten punkt już mamy. Dla y = 2 i x ∊ <0,1> mamy f(x,2) = x² − 4x + 2. Niech q(x) = x² − 4x + 2. Wtedy q'(x) = 0 ⇔ 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ∉ <0,1>. Teraz trzeba posprawdzać wartości w tych punktach. Otrzymamy: f_min = f(P₅) = f(1,2) = −1 f_max = f(P₄) = f(0,2) = 2

Stranger: To jest tak naprawdę wyznaczanie wartości największej/najmniejszej funkcji jednej zmiennej w zadanym przedziale, czego nie rozumiesz?

StudentH: Dostałem zaćmienia i przez to nie byłem pewien jak traktować te ograniczenia x i y. Dzięki twojemu rozwiązaniu wszystko nabrało sensu. Dzięki!