proszę o rozwiązanie anna: zbadaj monotoniczność ciągu nieskończonego ciągu (a_n) określonego wzorem rekurencyjnym

⎧	a1 = 4
⎩	an+1 = 2/an

chichi: a₁ = 4

	2		1
a2 =		=
	4		2

	2
a3 =		= 4
	1     2

. . . No i widać, że ciąg nie jest monotoniczny

anna: dziękuję zbadaj monotoniczność ciągu nieskończonego ciągu (a_n) określonego wzorem rekurencyjnym

⎧	a1 = −4
⎩	an+1= an + 5n

a₁ = − 4 a₂ = −4+ 5*(2) = 6 a₃ = 6 + 5*( 3) = 21 czy dobrze zrozumiałam

Filip: ok

anna: dziękuję

chichi: Oczywiście, pokazać tak jak ja to zrobiłem można gdy ciąg nie jest monotoniczny, bo tyle wystarczy, natomiast jeżeli on ma być monotoniczny, to trzeba pokazać dla ogółu, a nie dla 3 pierwszych wyrazów. Z drugiego równania mamy gotową różnicę do badania monotoniczności, która mówi nam jak zachowuje się ten ciąg zauważmy, że ∀n∊ℕ ( a_n+1 − a_n = 5n > 0 ) − zatem ten ciąg jest rosnący

Mariusz: Ten drugi ciąg rekurencyjny to nawet nie potrzeba rozpisywać a_n+1−a_n=5n Dla n>0 różnica ta będzie większa od zera −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Jeśli chodzi o wzór jawny to proponuję funkcje tworzące bądź przekształcenie Z przy czym funkcje tworzące są wg mnie wygodniejsze Przekształcenie Z to Z(f(n)) = ∑_n=−∞^∞f(n)z⁻ⁿ Otrzymaną funkcję rozwijasz w szereg Laurenta Przy założeniu że wyrazy o ujemnych indeksach są równe zero

	1
wystarczy podstawić x =		i rozwinąć funkcję w szereg Taylora
	z

Jeżeli chodzi o funkcje tworzące to do rozwiązywania równań rekurencyjnych przydają się głównie dwie Zwykła funkcja tworząca A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ

	an
Wykładnicza funkcja tworząca A(x) = ∑n=0∞		xn
	n!

Po otrzymaniu funkcji tworzącej rozwijasz ją w szereg Dla równań liniowych o stałych współczynnikach możesz rozłożyć funkcję tworzącą na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych Dla innych równań może być przydatne n. krotne zróżniczkowanie funkcji tworzącej bądź uogólniony dwumian Newtona Przykład: a₁=4

	1
a2=
	2

a_n=a_n−2 A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n≥3 więc sumujemy od n=3 ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞a_n−2xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=x²(∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=3^∞a_nxⁿ=x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ)

	1
∑n=1∞anxn−4x−		x2=x2(∑n=1∞anxn)
	2

	1
(1−x2)∑n=1∞anxn=4x+		x2
	2

	1   4x+ x2   2
∑n=1∞anxn=
	1−x2

	1   4x+ x2   2
∑n=1∞anxn=
	(1−x)(1+x)

Ax		(−Bx)		1   4x+ x2   2
	+		=
1−x		1+x		(1−x)(1+x)

	1
Ax(1+x)−Bx(1−x) = 4x+		x2
	2

	1
A(1+x)−B(1−x)= 4+		x
	2

A − B = 4

	1
A + B =
	2

	9
2A =
	2

	7
2B = −
	2

	9	x		7	(−x)
A(x)=			−
	4	1−x		4	1+x

	9		7
A(x)=		(∑n=1∞xn)−		(∑n=1∞(−1)n)
	4		4

	9		7
A(x)=∑n=1∞(		−		(−1)n)xn
	4		4

	9		7
an=		−		(−1)n
	4		4

Jeżeli teraz policzymy różnicę

	9		7		9		7
an+1−an=(		+		(−1)n)−(		−		(−1)n)
	4		4		4		4

	7
an+1−an=		(−1)n
	2

to czy będzie ona miała stały znak