rozwiaz rownanie rry: Rozwiaz rownanie rozniczkowe wiedzac ze czynnik calkujacy jest zalezny od x albo y. (xy²+y)dx−xdy=0

wredulus_pospolitus: wskazówka −−− jest to r.r. Bernoulliego. Odszukaj w notatkach jak rozwiązuje się tego typu równania i 'działaj'

rry: Widzialem to na zagranicznych forach ale tutaj mam to zrobic z tych wzorow na czynnik calkujacy zalezny od jednej zmiennej tak jak napisalem w poleceniu, tym sposobem co ty piszesz to potrafie zrobic. czekam na inne propozycje ale i tak dzieki

wredulus_pospolitus: "tutaj mam to zrobic z tych wzorow na czynnik calkujacy" <−−− z jakich "wzorów"

wredulus_pospolitus: zauważ, że: P(x,y) = xy² + y

dP
	= 2y + 1
dy

Q(x,y) = −x

dQ
	= −1
dx

najpierw rozwiązujesz, przy założeniu, że funkcja będzie zależna od 'x' a później, że od 'y'

wredulus_pospolitus: poprawka −−−> Q(x,y) = +x

rry: nie no Q(x,y)=−x no i blad przy dP/dy=2xy+1, tam byly takie wzory ze μ=(dP/dy−dQ/dx)/Q czy jakos tak i z tego trzeba chyba skorzystac

wredulus_pospolitus: P(x,y)dx = Q(x,y)dy −−−> Q(x,y) = x skorzystaj ... podstawiając

Mariusz: Czynnik całkujący dla równania Bernoulliego jest czynnikiem o rozdzielonych zmiennych

δμP		δμQ
	=
δy		δx

Niech μ(x,y) = φ(x)ψ(y)

δφ(x)ψ(y)P(x,y)		δφ(x)ψ(y)Q(x,y)
	=
δy		δx

	δψ(y)P(x,y)		δφ(x)Q(x,y)
φ(x)(		) = ψ(y)(		)
	δy		δx

	dψ		δP(x,y)		dφ		δQ(x,y)
φ(x)(		P(x,y)+ψ(y)		)=ψ(y)(		Q(x,y)+φ(x)		)
	dy		δy		dx		δx

	δP(x,y)		dψ		dφ		δQ(x,y)
φ(x)ψ(y)		+φ(x)		P(x,y) = ψ(y)		Q(x,y)+φ(x)ψ(y)
	δy		dy		dx		δx

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)(		−		)=ψ(y)		Q(x,y) − φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

	δP(x,y)		δQ(x,y)
φ(x)ψ(y)(		−		)=
	δy		δx

	dφ   dx		dψ   dy
φ(x)ψ(y)		Q(x,y) − φ(x)ψ(y)		P(x,y)
	φ(x)		ψ(y)

	δP(x,y)		δQ(x,y)
φ(x)ψ(y)(		−		)=
	δy		δx

	dφ   dx		dψ   dy
φ(x)ψ(y)(		Q(x,y) −		P(x,y))
	φ(x)		ψ(y)

δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ   dx		dψ   dy
	−		=		Q(x,y) −		P(x,y)
δy		δx		φ(x)		ψ(y)

Niech

dφ
	=f(x)dx
φ

dψ
	=g(y)dy
ψ

Otrzymujemy wówczas

δP(x,y)		δQ(x,y)
	−		= Q(x,y)f(x) − P(x,y)g(y)
δy		δx

dy
	+p(x)y=q(x)yr
dx

dy + (p(x)y − q(x)y^r)dx = 0 (p(x)y − q(x)y^r)dx + dy = 0 P(x,y) = p(x)y − q(x)y^r Q(x,y) = 1 f(x) = Ap(x)

	B
g(y) =
	y

	B
p(x)−rq(x)yr−1=1*A*p(x) − (p(x)y − q(x)yr)
	y

p(x)−rq(x)y^r−1 = Ap(x) − B(p(x) − q(x)y^r−1) p(x)−rq(x)y^r−1 = (A − B)p(x) + Bq(x)y^r−1 A − B=1 B=−r A + r = 1 B=−r A = 1 − r B = −r

dφ
	=(1 − r)p(x)dx
φ

dψ		−r
	=−		dy
ψ		y

ln|φ| = (1 − r)∫p(x)dx φ = exp((1 − r)∫p(x)dx) ln|ψ| = −rln|y| ln|ψ| = ln|y^−r| ψ = y^−r Zatem czynnik całkujący dla równania Bernoulliego jest postaci μ(x,y) = φ(x)ψ(y) μ(x,y) = exp((1 − r)∫p(x)dx)y^−r Tutaj dla równania w postaci

dy		y
	−		=y2
dx		x

mamy

	−1
μ(x,y) =exp((1−2)∫		)y−2
	x

μ(x,y) = exp(ln|x|)y⁻²

	x
μ(x,y) =
	y2

Zauważmy że jeśli pomnożymy równanie

dy		y
	−		=y2
dx		x

przez x to dostaniemy wyjściowe równanie zatem

	1
czynnikiem całkującym jest μ(y)=
	y2