matematykaszkolna.pl
Całka Brono: Czy ma ktoś jakiś pomysł na tą całkę?
r2 
dr
√r2+4 
22 maj 21:15
jc: Zamienię 4 na 1 (możesz podstawić x=2r).
 r2 
∫
dr = ∫r (√r2+1)' dr = r √r2+1 − ∫√r2+1 dr
 √r2+1 
 r2 r2+1 −1 dr 
∫
dr = ∫
dr = ∫√r2+1 dr − ∫
 √r2+1 √r2+1 √r2+1 
 r2 dr 
2 ∫
dr = r √r2+1 −∫
= r √r2+1 − ln (r + √r2+1)
 √r2+1 √r2+1 
Na koniec podziel obie strony przez 2
22 maj 21:58
Mariusz: √r2+4=t − r r2+4 = t2 − 2tr + r2 4 = t2 − 2tr 2tr = t2 − 4
 t2 − 4 
r =
 2t 
 2t*2t − 2(t2−4) 
dr =
dt
 4t2 
 2t2+8 
dr =
dt
 4t2 
 t2+4 
dr =
dt
 2t2 
 2t2 − (t2−4) 
√r2+4 = t − r =
 2t 
 t2 + 4 
√r2+4 =
 2t 
 (t2 − 4)2 2t t2+4 
∫
*
*
dt
 4t2 t2+4 2t2 
 1 (t2 − 4)2 
=
∫
dt
 4 t3 
 1 t4 − 8t2 + 16 
=
∫
dt
 4 t3 
 1 1 1 
=
(∫tdt +16∫
dt−8∫
dt)
 4 t3 t 
 1 t2 16 
=
(
−
− 8ln|t|) +C
 4 2 2t2 
 1 t4−16 
=
(
− 8ln|t|) + C
 4 2t2 
 1 t4 − 16 
=
(
− 4ln|t|) + C
 2 4t2 
 1 t2 − 4 t2 + 4 
=
(
*
− 4ln|t|) + C
 2 2t 2t 
 1 
=
(r√r2 + 4 −4ln|r + √r2+4|) +C
 2 
23 maj 13:03