Równania dwusiecznych i współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt Mariusz: Wykonując obliczenia zgodnie z krokami konstrukcji otrzymałem takie równania ((x_A − x_B)b − (x_A − x_C)c)x − ((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c)y= x_A((x_A − x_B)b − (x_A − x_C)c) − y_A((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c) ((x_A − x_B)a + (x_B − x_C)c)x − ((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c) y = x_B((x_A − x_B)a + (x_B − x_C)c) − y_B((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c) gdzie x_A,y_A − współrzędne wierzchołka A x_B,y_B − współrzędne wierzchołka B x_C,y_C − współrzędne wierzchołka C a − długość boku BC b − długość boku AC c − długość boku AB Pomnóżmy obydwa te równania przez −1 ((x_B − x_A)b − (x_C − x_A)c)x + ((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c)y = x_A((x_B − x_A)b − (x_C − x_A)c) + y_A((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c) ((x_B − x_A)a + (x_C − x_B)c)x + ((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c)y = x_B((x_B − x_A)a + (x_C − x_B)c) + y_B((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c) Niech A₁ = ((x_B − x_A)b − (x_C − x_A)c) B₁ = ((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c) A₂ = ((x_B − x_A)a + (x_C − x_B)c) B₂ = ((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c) Układ równań można zapisać wówczas w ten sposób A₁x + B₁y = x_AA₁ + y_AB₁ A₂x + B₂y = x_BA₂ + y_BB₂ W = A₁B₂ − A₂B₁ W_x = x_AA₁B₂ + y_AB₁B₂ − x_BA₂B₁ − y_BB₂B₁ W_y = x_BA₂A₁ + y_BB₂A₁ − x_AA₁A₂ − y_AB₁A₂

	xAA1B2 − xBA2B1 + (yA − yB)B1B2
x =
	A1B2 − A2B1

	yBA1B2 − yAA2B1 + (xB − xA)A1A2
y =
	A1B2 − A2B1

Tylko jak uprościć rozwiązanie tego układu bo z tej postaci jakoś nie widać aby były to współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt

jc:

	a		b		c
S =		A +		B +		C
	a+b+c		a+b+c		a+b+c

Mariusz: To już jeden na forum podał a Mila podała uzasadnienie Chciałem sprawdzić czy to samo dostaniemy z układu równań liniowych w którym każde z równań jest równaniem dwusiecznej jc masz pomysł jak uprościć podane przeze mnie rozwiązanie układu równań

chichi: @Mariusz lepiej byłoby jakbyś wstawił za zmienne x_A, y_A etc. po prostu jakieś inne "literki", bo naprawdę nawet sprawdzając to można dostać zwrotów głowy P. S. To oczywiście dla wygody analizy

Mariusz: Jeżeli chodzi o nazewnictwo to np x_A,y_A jest dość czytelne w senie że od razu wiadomo że chodzi o współrzędne punktu A inaczej można by było się pogubić ale co proponujesz Literki A₁,B₁,A₂,B₂ przyjąłem aby zapis się nie "rozjechał" bo tutaj nie ma texa Te równania dwusiecznych pochodzą z analizy konstrukcji dwusiecznej Aby uzyskać rozwiązanie tego układu użyłem wyznaczników (z rozwiązania wynika że dzielenie przez zero otrzymalibyśmy wtedy gdyby te dwusieczne były równoległe) Nie mam pomysłu jak uprościć rozwiązanie podanego przeze mnie tak aby uzyskać to co tutaj napisał jc