Indukcja, podzielność Szkolniak: Pokazać, że liczba 10ⁿ+4ⁿ−2 jest podzielna przez 3 dla dowolnego n naturalnego. Da radę to jakoś sprawnie 'rozłożyć' jeśli mam dwie różne podstawy potęgi? A dokładniej mam na myśli inny przykład, gdzie miałem 9 | 4ⁿ+15n−1 dla n naturalnego I tutaj można zrobić na dwa sposoby: 1) 4*4ⁿ+15(n+1)−1=4*4ⁿ+15n+14=(4ⁿ+15n−1)+3(4ⁿ+5) i znów indukcja 2) 4*4ⁿ+15n+14=4*4ⁿ+60n−45n−4+18=4(4ⁿ+15n−1)+9(2−5n) i od razu widać Myślałem nad jakąś wspólną wielokrotnością między 10 i 4, ale chyba nie tędy droga Prosze o pomoc

Eta: Dla n=1 L=P Zał. ind. dla n=k L=10^k+4^k−2 = 3t Teza ind. dla n=k+1 L=10^k+1+4^k+1−2=3u Dowód indukcyjny : L=10^k*10+4*4^k −2= 6*10^k+4*10^k+4*4^k−8+6= = 6(10^k+1)+4(10^k+4^k−2) = 3[2(10^k+1)+4*3t ] = 3u

getin: liczba 10ⁿ − 2 składa się z dziewiątek i jednej ósemki. zatem przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, czyli 10ⁿ − 2 jest postaci 3n+2. jeśli udowodnimy że 4ⁿ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 to później będzie łatwo. 4ⁿ = 4ⁿ − 1ⁿ + 1 = (4−1)(4ⁿ⁻¹ + ... + 1) +1 = 3k + 1. 3n+2 + 3k+1 = 3(n+k+1) co należało pokazać

Szkolniak: Eta, czy w ostatniej linijce nie powinno być 6(10^k+1)+4(10^k+4^k−2)=6(10^k+1)+4*3u=3[2(10^k+1)+4u]=3t?

Eta: taaaaaaak

Eta: Źle zamknęłam nawias kwadratowy

Szkolniak: Oki, dzięki Eta getin również dzięki, chociaż u Ciebie trochę więcej trzeba pomyśleć

Stranger: Możesz zauważyć, że 10ⁿ dzielone przez 3 daje resztę 1, podobnie 4ⁿ daje resztę 1. Zatem można zapisać, że 10ⁿ = 3x + 1 i 4ⁿ = 3y + 1 dla pewnych liczb naturalnych x i y. Skoro tak, to: 10ⁿ + 4ⁿ − 2 = 3x + 1 + 3y + 1 − 2 = 3(x+y)

Eta: Szkolniak wyraźnie pisze : indukcja, podzielność więc dowód indukcyjny