Dowód Macierze: Udowodnij, że jeśli A ∊ M_mxn oraz B,C ∊ M_nxk, to A(B+C) = AB + AC

Stranger: Założenia: A ∊ M_{m x n}, B, C ∊ M_{n x k}. Teza: A(B+C) = AB + AC. Dowód: W dowodzie skorzystamy m.in. z definicji mnożenia macierzy (pow. mnożenie jest wykonalne) oraz dodawania macierzy. Załóżmy, że B = [b_ij], C = [c_ij] oraz A = [a_ei], gdzie a_ei, b_ij, c_ij ∊ R. Są to elementy macierzy B, C i A odpowiednio, gdzie: i = 1, 2, 3, ..., n j = 1, 2, 3, ..., k e = 1, 2, 3, ..., m Z dodawania macierzy, wiemy, że: A(B+C) = [a_ei]([b_ij] + [c_ij]) = [a_ei]([b_ij + c_ij]) Z mnożenia macierzy, wiemy, że: A(B+C) = [∑ⁿ_j=1 a_ei(b_ij + c_ij)] = [∑ⁿ_j=1 a_eib_ij + a_eic_ij] = = [∑ⁿ_j=1 a_eib_ij + ∑ⁿ_j=1 a_eic_ij] = = [∑ⁿ_j=1 a_eib_ij] + [∑ⁿ_j=1 a_eic_ij] = = [a_ei][b_ij] + [a_ei][c_ij] = = AB + AC

Macierze: Dziękuję