dowód z ciągów Julekcaesar: Wykaż nie wprost że dla każdego (ściśle) rosnącego ciągu liczb naturalnych an zachodzi an > n dla każdego n ∈ N.

ABC: rozpatrzyłeś ciąg a_n=n zanim zamieściłeś przykład? jest ściśle rosnący a nie spełnia twojego warunku

Julekcaesar: Tam powinno być an>=n. Źle mi przekopiowało przykład. Dowód próbowałem 2h rozpisać i nie idzie mi. Próbowałem indukcją doprowadzić do sprzeczności, ale nie wychodzi.

wredulus_pospolitus: pod warunkiem, że 0 ∉ N

wredulus_pospolitus: pokaż jak próbowałeś to zrobić

Julekcaesar: założyłem, że an<n, później sprawdziłem że dla n=1 wychodzi sprzeczność. Za to nie mogę doprowadzić do sprzecznosci a(n+1)<n+1.

wredulus_pospolitus: ale my nie chcemy przy założeniu a_n < n sprawdzić czy a_n+1 < n+1 ... to nam nic nie daje chcemy z założenia, że a_n jest ciągiem ściśle rosnącym i a_n < n wykazać, że taki ciąg nie może być złożony tylko z liczb należących do zbioru ℕ₊ albo jak wolisz ... że a₁ < 1 lub ∃_k≤n a_k ∉ ℤ

Julekcaesar: a pokażesz jak taki dowód wygląda?

Julekcaesar: Próbuję do tego dojść cały czas i mi nie wychodzi

wredulus_pospolitus: 1) założenie: 0 ∉ ℕ 2) ciąg ściśle rosnący −−−> k<n ⇒ a_k < a_n 3) a_n ∊ ℕ 4) z (2) i (3) wynika, że jeżeli a_n = m to a_n−1 ≤ m − 1, a co za tym idzie a_n−2 ≤ m−2 5) uogólniając: a_n = m , k < n to a_k ≤ m − (n−k) Dowód niewprost. załóżmy, że istnieje taki ciąg {a_n}_n=1^∞ dla którego ∃_k a_k = m < k wszystkie wcześniejsze punkty zachodzą, związku z tym powołując się na (5) mamy: a₁ ≤ m − (k−1) < k − (k−1) = 1 −−−> a₁ < 1 a przecież '1' to najmniejsza liczba naturalna. Sprzeczność. C.N.W.

wredulus_pospolitus: I ewentualnie wykładowca może się przyczepić do (5), że nie zostało udowodnione ... co możesz zrobić indukcyjnie (każdy poprzedni element ciągu musi być o minimum '1' mniejszy od jego następcy)