Obliczanie całek Zacałkowane: Oblicz całke: 1)∫(2x−1)*(√6x−x²)

Zacałkowane: 2)∫√−x²−4x+1dx

	5sinx
3)		dx
	3−2cosx

Min. Edukacji: Zajrzyj do podanego wcześniej źródła albo do podręcznika.

xz: 1) podpowiedź 6x − x² = −(x²−6x) = − [(x−3)² − 9] = 9 − (x−3)² podstawienie t = x−3 dt = dx

Zacałkowane: 1) Próbowałem, ale ciągle nie wiem, jak przekształcić pierwszy nawias (2x−1), tak żeby nie przeszkadzał

Szkolniak: ad 1) ∫(2x−1)√6x−x²dx=∫(2x−1)√9−(x−3)²dx=

	x−3
x−3=3sin(u) → 2x−1=6sin(u)+5 i u=arcsin(		)
	3

dx=3cos(u)du =∫(6sin(u)+5)√9−9sin²(u)*3cos(u)du= =9∫(6sin(u)+5)cos²(u)du= =9∫(6sin(u)cos²(u)+5cos²(u))du= =54∫sin(u)cos²(u)du+45∫cos²(u)du=

	1		45
=−54*		cos3(u)+		(u+sin(u)cos(u))+C=
	3		2

	45
=−18cos3(u)+		(2u+sin(2u))+C=
	4

	x−3		45		x−3		x−3
=−18cos3(arcsin(		))+		(2arcsin(		)+sin(2arcsin(		)))+C
	3		4		3		3

Szkolniak: ad2) −x²−4x+1=−(x²+4x−1)=−(x²+4x+4−5)=−[(x+2)²−5]=5−(x+2)² ∫√−x²−4x+1dx=∫√5−(x+2)²dx=

	x+2
x+2=√5sin(u) → dx=√5cos(u)du i u=arcsin(		)
	√5

=∫√5−5sin²(u)*√5cos(u)du= =5∫cos²(u)du=

	5
=		(u+sin(u)cos(u))+C=
	2

	5
=		(2u+sin(2u))+C=
	4

	5		x+2		x+2
=		(2arcsin(		)+sin(2arcsin(		)))+C
	4		√5		√5

xz: ad 1) t = x−3 / * 2 2t = 2x − 6 −−> zatem 2x − 1 = 2x − 6 + 5 = 2t + 5 zatem całka wygląda ∫ (2t+5)*√9−t² dt dla √9−t² wykorzystaj jedynke trygonometryczna. niech t = 3sin(u) wtedy 9−t² = 9−(3sin²u) = 9 − 9sin²u = 9(1−sin²u) = 9*cos²u zatem √9−t² = 3cos(u) oczywiscie jesli t = 3sin(u), dt = 3cos(u)du //cos to przypomina?

Zacałkowane: Tak, dziękuję za pomoc

chichi: (3)

	5sin(x)		5		5		dt
∫		dx = { 3 − 2cos(x) = t, 5sin(x)dx =		dt} =		∫		=
	3−2cos(x)		2		2		t

	5		5
=		ln|t| + C =		ln(3 − 2cos(x)) + C, C ∊ ℝ
	2		2

Zacałkowane: Dzięki wielkie!

Mariusz: Dwie pierwsze można przez części policzyć Trzecią wygodnie jest podstawieniem policzyć jak to chichi zrobił

Szkolniak: Mariusz, jak by to miało wyglądać? Co teraz zastosować w tej drugiej całce?

	x(−2x−4)
∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1−∫		dx=
	√−x2−4x+1

	x(x+2)
=x√−x2−4x+1+2∫		dx
	√−x2−4x+1

Mariusz: Zapomniałeś dać dwójki w mianowniku całki która została po całkowaniu przez części Teraz musisz skorzystać z liniowości całki i tak zapisać całkę która ci została aby po prawej stronie mieć tę samą całkę co po lewej (ewentualnie przemnożoną przez stałą) plus jakąś jeszcze całkę Przy czym ta jakaś jeszcze całka musi być łatwiejsza do policzenia I w istocie tak będzie bo łatwo ją scałkujesz sprowadzając do sumy pierwiastka i arcusa sinusa

Szkolniak: Czy dobrze myślę, że to masz na myśli?

	Pn(x)		dx
∫		dx=Qn−1(x)√ax2+bx+c+k∫		, gdzie Pn(x) −
	√ax2+bx+c		√ax2+bx+c

wielomian stopnia n? Potem mam w książce napisane, że różniczkujemy obie strony tej równości i mnożymy przez √ax²+bx+c, otrzymując tożsamość:

	1
Pn(x)≡Qn−1(x)(ax2+bx+c)+		Qn−1(x)(2ax+b)+k, itd.
	2

Jeśli tak to jeszcze nie doszedłem do tego sposobu, bo na razie robię całki z funkcji wymiernych

Mila: Szkolniak Zadanie 1 −Metoda wsp. nieoznaczonych.

	(2x−1)*(6x−x2)
∫(2x−1)√6x−x2dx=∫		dx=
	√6x−x2

	−2x3+13x2−6x
=∫		dx
	√6x−x2

	−2x3+13x2−6x		dx
∫		dx=(ax2+bx+c)√6x−x2+A*∫		dx−
	√6x−x2		√6x−x2

różniczkujemy obustronnie, aby wyznaczyć współczynniki: a,b,c, A

−2x3+13x2−6x		(ax2+bx+c)(3−x)		A
	=(2x+b)*√6x−x2+		+
√6x−x2		√6x−x2		√6x−x2

stąd −2x³+13x²−6x=(2ax+b)*(6x−x²)+(ax²+bx+c)(3−x)+A dalej sam, jak dobrniesz do tej metody.

Stranger: Można też tak: ∫ √−x²−4x+1 dx = ∫ √−(x²+4x+4)+5 dx = ∫ √5−(x+2)² dx Teraz podstawienie u = x + 2 dające: ∫ √5−(x+2)² dx = ∫ √5−u² du

	u
Podstawienie trygonometryczne u = √5sin(t) ⇔ t = arcsin(		) dające:
	√5

	5		5
∫ √5−u2 du = ∫ √5−5sin2(t) √5cos(t) dt = ∫ 5cos2(t) dt =		sin(2t)+		t + C =
	4		2

...

Stranger: A już wyżej zaprezentowane, sorki za spam.

Mariusz: Na to samo by wyszło Z całkowania przez części otrzymałbyś

	x(−x−2)
∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1−∫		dx
	√−x2−4x+1

	−x2−2x
∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1−∫		dx
	√−x2−4x+1

	(−x2−4x+1)+(2x−1)
∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1−∫		dx
	√−x2−4x+1

	2x−1
∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1−∫√−x2−4x+1dx−∫		dx
	√−x2−4x+1

	2(−x−2)+5
∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1−∫√−x2−4x+1dx+∫		dx
	√−x2−4x+1

	−x−2		1
2∫√−x2−4x+1dx=x√−x2−4x+1+2∫		dx+5∫		dx
	√−x2−4x+1		√−x2−4x+1

	1
2∫√−x2−4x+1dx=(x+2)√−x2−4x+1+5∫		dx
	√5−(x+2)2

	1
∫		dx
	√5−(x+2)2

(x+2)=√5t dx=√5dt

	1
∫		√5dt=
	√5−5t2

	1
∫		dt=arcsin(t)+C
	√1−t2

	x+2
2∫√−x2−4x+1dx=(x+2)√−x2−4x+1+5arcsin(		)+C1
	√5

	1		5		x+2
∫√−x2−4x+1dx=		(x+2)√−x2−4x+1+		arcsin(		)+C
	2		2		√5

Szkolniak masz wór redukcyjny i metodę Ostrogradskiego dla wielokrotnych pierwiastków mianownika ?

Szkolniak: Mila, dziękuję, dokończę jak zacznę się uczyć tej metody Mariusz prześledzę dokładniej co napisałeś jak już poczytam o tym A o tej metodzie Ostrogradskiego słyszałem, ale nie czytałem jeszcze Ja to w ogóle nie mam żadnego planu odnośnie całek, ostatnio sam postanowiłem że trochę nad nimi posiedzę, zakupiłem kilka książek i w wolnym czasie myślę nad tymi całkami Na zajęciach w sumie słabo z tymi całkami, bo na kolokwium dostałem całkę typu ∫√2−xdx, także za dużo się tam nie nauczę

Mariusz: Ta całka co tutaj podałeś to jedni by ją w pamięci policzyli zamieniając funkcję podcałkową na potęgę i pamiętając o odwróceniu pochodnej wnętrza inni by podstawili za pierwiastek Oczywiście przez części też można się bawić

Mariusz: Szkolniak Jeżeli chodzi o metodę Ostrogradskiego całkowania funkcji wymiernych to

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

przy czym zakładasz że st L(x) < st M(x) st L₁(x) < st M₁(x) st L₂(x) < st M₂(x) dodatkowo możesz założyć że ułamki są nieskracalne choć nie jest to konieczne Teraz masz M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) Co do liczenia NWD wielomianów to jeśli masz dany rozkład tych wielomianów na czynniki to z niego korzystasz a jeśli nie to korzystasz z algorytmu kolejnych dzieleń Bierzesz reszty z kolejnych dzieleń tak jak w algorytmie Euklidesa dla liczb

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Zróżniczkujmy powyższą równość stronami

L(x)		L1'(x)M1(x)−L1(x)M1'(x)		L2(x)
	=		+
M(x)		M12(x)		M2(x)

L(x)
	=
M(x)

	L1'(x)M1(x)M2(x)−L1(x)M1'(x)M2(x)+M12(x)L2(x)
	M12(x)M2(x)

L(x)
	=
M(x)

L1'(x)M1(x)M2(x)−L1(x)M1'(x)M2(x)+M12(x)L2(x)
M1(x)M(x)

L(x)
	=
M(x)

M1'(x)   M1(x)(L1'(x)M2(x)−L1(x)(M2(x) )   M1(x)
M1(x)M(x)

	M12(x)L2(x))
+
	M1(x)M(x)

	M1'(x)
Niech H(x)=M2(x)
	M1(x)

(Spróbuj pokazać że H(x) zawsze będzie wielomianem)

L(x)
	=
M(x)

M1(x)(L1'(x)M2(x)−L1(x)H(x)+M1(x)L2(x))
M1(x)M(x)

L(x)		L1'(x)M2(x)−L1(x)H(x)+M1(x)L2(x)
	=
M(x)		M(x)

L(x) = L₁'(x)M₂(x)−L₁(x)H(x)+M₁(x)L₂(x) Teraz L(x) oraz M(x) masz dane , Mianowniki M₁(x) oraz M₂(x) a także H(x) sobie policzysz natomiast aby znaleźć liczniki L₁(x) oraz L₂(x) musisz za współczynniki tych wielomianów przyjąć sobie współczynniki literowe i znaleźć je rozwiązując układ równań liniowych powstały z porównania wielomianów w następującej równości L(x) = L₁'(x)M₂(x)−L₁(x)H(x)+M₁(x)L₂(x)

Mariusz: Układ powstały z porównania wielomianów zawsze będzie układem Cramera z jednoznacznym rozwiązaniem więc jeśli ci taki nie wyjdzie znaczy że gdzieś się pomyłeś Jeżeli chodzi o wzór redukcyjny to wyprowadzasz go przez części 1)

	1
∫		dx
	(1+x2)n

Rozszerzasz licznik i mianownik przez 1+x²

	1		1+x2
∫		dx=∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n+1

Korzystając z liniowości całki rozbijasz tę całkę na sumę dwóch całek

	1		1+x2
∫		dx=∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n+1

	1		1		x2
∫		dx=∫		dx+∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n+1		(1+x2)n+1

	x2
Teraz całkę ∫		dx liczysz przez części
	(1+x2)n+1

	x
∫ x *		dx
	(1+x2)n+1

	x
u = x , dv =		dx
	(1+x2)n+1

2) Do tego wzoru redukcyjnego możesz podejść też w ten sposób Zapiszmy licznik w postaci 1=1+x²−x²

	1		1+x2−x2
∫		dx = ∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n

	1		1+x2		x2
∫		dx = ∫		dx − ∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n		(1+x2)n

	1		1		x2
∫		dx = ∫		dx − ∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		(1+x2)n

i teraz całkę

	x2
∫		dx
	(1+x2)n

liczysz przez części przyjmując

	x
u = x , dv =		dx
	(1+x2)n

Mariusz: Szkolniak , jeśli chcesz sobie poćwiczyć całkowanie funkcji wymiernych w przypadku gdy sposób Ostrogradskiego bądź wzór redukcyjny będzie przydatny to na początek mogę ci podać całkę którą możesz otrzymać z całki ∫(2x−1)√6x−x²dx √6x−x²=xt 6x−x²=x²t² 6−x=xt² 6=x+xt² 6=x(1+t²)

	6
x=
	1+t2

	6t
√6x−x2=
	1+t2

	0*(1+t2)−6*2t
dx=		dt
	(1+t2)2

	12t
dx=−		dt
	(1+t2)2

	12
2x−1=		−1
	1+t2

	12−t2−1
2x−1=
	1+t2

	t2−11
2x−1=−
	1+t2

	−(t2−11)		6t		12t
∫		*		*(−		)dt
	(1+t2)		1+t2		(1+t2)2

	(t2−11)t2
72∫		dt
	(1+t2)4