Obliczanie zbieżności Zaszeregowane: Proszę o sprawdzenie, czy prawidłowo zbadałem zbieżność poniższych szeregów

	1
a) ∑
	√n+1

	1
limn−−>∞		= 0
	√n+1

1		1		1		1
	≥		=		= 12 *
√n+1		√n+√n		2√n		n12

	1
∑		<−−−Szereg Dirichleta rozbieżny
	n12

	1
Odp. Z rozbieżności szeregu ∑12 *		na mocy kryterium porównawczego wynika
	n12

	1
rozbieżność szeregu ∑
	√n+1

	(n!)3
b)∑
	(2n)!

(nie wiem, jak sprawdzić warunek konieczny )

	an+1		(n+1!)3		(2n)!
limn−−>∞		= limn−−>∞		*		=
	an		(2n +2)!		(n!)3

	(n+1)3*(n!)3		(2n)!
limn−−>∞		*		= limn−−>∞
	(2n +2)*(2n +1)*(2n)!		(n!)3

	(n+1)3
		= limn−−>∞ n4 = ∞
	(2n +2)*(2n +1)

	(n!)3
Odp. Na mocy kryterium D'Alamberta szereg ∑		jest rozbieżny.
	(2n)!

Zaszeregowane:

	ln(n)
c) ∑
	πn

	ln(n)		1n
limn−−>∞		= limn−−>∞		= 0
	πn		n*πn−1

	ln(n+1)		πn		ln(n+1)
limn−−>∞		*		= limn−−>∞		=
	πn*π		ln(n)		ln(n)

	1n * π(ln(n)) − ln(n+1)*π*1n
limn−−>∞		=
	(πln(n)2

	πln(n)   ln(n+1   − n   πn
limn−−>∞		=
	(πln(n))2

	n   π2(ln( )   n+1		1
limn−−>∞		*		= limn−−>∞
	πn		(πln(n))2

	n   ln( )   n+1
		=0
	nπln(n)2

	ln(n)
Odp.Na mocy krytierum D'Alamberta szereg ∑		jest rozbieżny
	πn

Zaszeregowane: d) ∑(arccos(¹_n))ⁿ lim _n−−>∞ (arccos(¹_n))ⁿ = ∞

	π
[(arccos(1∞))∞] = [(arccos(0))∞] = [(		)∞] = ∞
	2

Odp. ∑(arccos(¹_n))ⁿ jest rozbieżny bo lim _n−−>∞ (arccos(¹_n))ⁿ = ∞

Zaszeregowane:

	n+2
e) ∑(		)n2 (całość do potęgi n2)
	n+3

	n+2		−1		n2
lim n−−>∞ (		)n2 = lim n−−>∞ [(1 + (		)n+3)]		=
	n+3		n+3		n+3

	1
[e−1]∞ = (		)∞ = 0
	e

	n+2		n+2
lim n−−>∞ n√(		)n2 = lim n−−>∞ (		)n2*1n = lim
	n+3		n+3

	n+2
n−−>∞ (		)n =
	n+3

	−1		n		1
lim n−−>∞ [(1+		)n+3]		= [e−1]1 =
	n+3		n+3		e

	n+2
Odp. Na mocy kryterium Cauchy'ego szereg ∑(		)n2 jest zbieżny.
	n+3

chichi: (a) jaki szereg Dirichleta? Stwierdzamy rozbieżność na podstawie szeregu harmonicznego rzędu α (b) ok (c) po 1 reguła de L'hopsitala dla ciągów po drugie (πⁿ)' = nπⁿ⁻¹ a to ciekawe... (d) nie mogę rozszyfrować (e) ok

Zaszeregowane: c) Aaa, no racja xD

	1n		0
Czyli wyjdzie limn−−>∞		= limn−−>∞		= 0
	πn*ln(π)		∞

Zaszeregowane: W d) użyłem nawiasów kwadratowych do podstawienia

chichi: Dlaczego zepsujesz regułę de L'Hospitala dla ciągów? I w dodatku robisz wszystko nie po kolei i ciągle masz złe wyniki ... A więc spójrz:

	ln(n)		ln(n+1)		ln(n+1)
an =		⇒ an+1 =		=
	πn		πn+1		πn*π

an+1		ln(n+1)		πn		1		n+1   ln(n* )   n
	=		*		=		*		=
an		πn*π		ln(n)		π		ln(n)

	1		n+1   ln( )   n		1		1
=		(1 +		) →		(1 + 0) =		< 1
	π		ln(n)		π		π

Zatem ∑a_n jest zbieżny na mocy kryterium D'alemberta

chichi: zepsujesz − stosujesz* xd

Zaszeregowane: Ahaaaaaaa, to trochę zamieszałem. Dziękuję za pomoc