Dowód nierówności Clown: Uzasadnij, że w dowolnym trójkącie (przy standardowych oznaczeniach) zachodzi nierówność: a*cosα+b*cosβ+c*cosγ≤(a+b+c)/2

wredulus_pospolitus: czym jest a,b,c ? czym jest α,β,γ ?

Clown:

jc:

	1
Pole trójkąta o wierzchołku w środku okręgu =		aR cos α
	2

Dlatego pole trójkąta wpisanego w okrąg

	R
= P =		(a cos α + b cos β + c cos γ)
	2

Z drugiej strony

	r(a+b+c)
P =
	2

gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt. Wiemy, że r ≤ R/2. Stąd

R		a+b+c		R		a+b+c
	(a cos α + b cos β + c cos γ) = r*		≤		*
2		2		2		2

a więc

	a+b+c
a cos α + b cos β + c cos γ ≤
	2