Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność matm: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x⁴ − x² − 2x +3 > 0 Wiem, że można to łatwo udowodnić tworząc wzory skróconego mnożenia, ale czy jest możliwe wykazanie tego za pomocą pochodnych?

chichi: Niech f(x) = x⁴ − x² − 2x + 3, wówczas f'(x) = 4x³ − 2x − 2 f'(x) = 0 ⇔ 4x³ − 2x − 2 = 0 ⇔ 2(x − 1)(2x² + 2x + 1) = 0 ⇔ x = 1 Ponadto f maleje na (−∞,1] oraz rośnie na [1, +∞) f''(x) = 12x² − 2 ⇒ f''(1) = 10 − minimum GLOBALNE dla x = 1 f(1) = 1 − 1 − 2 + 3 = 1 Zatem f(x) ≥ 1 > 0 □

matm: Dziękuję