parametr Gabi18: Wyznacz wszystkie a dla których równanie (2x−a)√ax²−(a²+a+2)x+2(a+1)=0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste.

kerajs: Postawię na: a ∊ R \ { −2; 0; 1; 2 }

Gabi18: A czemu tak?

imieLubNick: (wyrazenie1)*(wyrazenie2) = 0 gdy wyrazenie1 = 0 LUB wyrazenie2 = 0 zatem 2x−a = 0 −> a = 2x (Pierwsze rozwiazanie, zatem brakuja jeszcze 2) LUB √ax²−(a²+a+2)x+2(a+1) = 0 Dziedzina: ax²−(a²+a+2)x+2(a+1) > 0 −−> wyznaczyc nastepnie podnosze obie strony do kwadratu (bo obie strony sa nieujemne): ax²−(a²+a+2)x+2(a+1) = 0 zeby to dalo 2 rozwiazania, to delta > 0 (oraz a =/=0 zeby miec rownanie kwadratowe w ogole) czyli masz te 2 rzeczy do zrobienia { ax²−(a²+a+2)x+2(a+1) > 0 { Δ > 0 { a =/= 0 i powinno wyjsc raczej

Gabi18: A jak wyznaczyć dziedzinę tego co pod pierwiastkiem?

imieLubNick: zwykla nierownosc kwadratowa a jak wyznaczyc gdy masz takie cos 2x² + 5x + 3 > 0 ? no delta, pierwiastki... i narysowac rozwiazanie

Gabi18: Ok ale chyba trzeba jeszcze sprawdzić kiedy będą różne?

Kacper: Trzeba pamiętać, że mają być różne od a

chichi: Czy aby na pewno od a?

Kacper: Zobaczymy czy autor czyta ze zrozumieniem

kerajs: ''imieLubNick: Dziedzina: ax2−(a2+a+2)x+2(a+1) > 0 −−> wyznaczyc'' Pokaż, proszę, jak to robisz (choć dla tego zadania jest to zupełnie zbędne).

Gabi18: Różne od siebie

Kacper: Jakieś postępy?

Gabi18: Nie wiem jak wyznaczyć te dziedzinę właśnie

kerajs: Po co dziedzina skoro masz przyjąć, że wyrażenie pod pierwiastkiem ma wartość zero ? Ba, pierwiastek kwadratowy możesz całkowicie pominąć. Poza tym to wyznaczenie obszaru dziedziny wcale nie jest banalne. Jednym pierwiastkiem równania jest x=a/2 . Sprawdź dla jakich ''a'' jest on także pierwiastkiem wyrażenia: ax²−(a²+a+2)x+2(a+1)

Gabi18: Dla a=3, co to oznacza x = 3/2 (assuming a complex−valued square root) https://www.wolframalpha.com/input?i=%282x-3%29sqrt%7B3x%5E2-%283%5E2%2B3%2B2%29x%2B2%283%2B1%29%7D%3D0

Gabi18:

kerajs: Wyraźnie napisałem: ''Jednym pierwiastkiem równania jest x=a/2 . Sprawdź dla jakich ''a'' jest on także pierwiastkiem wyrażenia: ax²−(a²+a+2)x+2(a+1)'' czyli rozwiąż równanie:

	a		a
a(		)2−(a2+a+2)		+2(a+1)=0
	2		2

Uzyskane wartości ''a'' wyrzucisz z rozwiązania, gdyż to dla nich pierwiastek/tki dublują się z rozwiązaniem x=a/2

Gabi18: Wyszło 2 i −2 więc te na pewno odrzucam? A czemu 0 i 1 tez? A co np jak przyjmę a=3?

kerajs: Prócz rozwiązania x=a/2, dwa pozostałe musisz otrzymać z równania: ax²−(a²+a+2)x+2(a+1)=0 więc musi być to równanie kwadratowe ( a≠0) o dwóch rozwiązaniach (Δ>0). Znajdź rozwiązanie nierówności Δ>0 i od otrzymanego wyniku odejmij niesprzyjające wartości a (czyli −2,0,2) Dla a=3 są trzy rozwiązania: 3/2, 2/3 i 4

Gabi18: a=3 i x=3/2 jak wykonać sprawdzenie wyjściowego równania?

kerajs: dla a=3 masz: (2x−3)√3x²−14x+8=0 2x−3=0 lub 3x²−14x+8=0 .........

kerajs: Jak się upierasz, to wstaw potem każdy z wyników do równania (2x−3)√3x²−14x+8=0

Gabi18: x=3/2 nie spełnia powyższego gdyż pod pierwiastkiem wychodzi liczba ujemna.

kerajs: Touché! Jednak ten pierwiastek ogranicza rozwiązanie. Skoro jednym z rozwiązań ma być a/2 to musi istnieć pierwiastek √a(a/2)²−(a2+a+2)(a/2)+2(a+1)

	−1
więc		(a−2)(a+2)2>0 (nie daję ''≥'' gdyż dla ''='' pierwiastki się dublują)
	4

co daje a∊(−∞, 2)\{−2} Teraz odpowiedzią na pytanie z zadania będzie a∊(−∞, 2)\{−2,0,1}

Gabi18: Ok dzięki a może jeszcze głupie pytanie a jak stwierdziłeś ze a=1 odrzucamy?

chichi: No, a zobacz kiedy wyrazenie podpierwiastkowe ma jedno rozwiązanie

Gabi18: Czemu tak?

chichi: ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste.

Gabi18: Czyli trzeba sprawdź kiedy delta jest równa 0

kerajs: Raczej sprawdź kiedy Δ>0 . Oczywiście chodzi o wyróżnik z wyrażenia podpierwiastkowego.