Wykaż, że Nova: Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba L = n¹² − 4n¹⁰ + 6n⁸ − 4n⁶ + n⁴ jest podzielne przez 1296.

kerajs: L=n⁴(n²−1)⁴=[(n−1)n(n+1)]⁴ 1296⁴

kerajs: Sorki. miało być 1296=6⁴

Nova: skąd pojawia się liczba 6⁴ ?

I'm back: W sensie skąd wiemy że 1296 = 6⁴? Zrob to algorytmem Euklidesa na przykład

Mila: (n−1)*n*(n+1) − iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2 i przez 3 , zatem jest postaci: (n−1)*n*(n+1)=6k, k∊N

Nova: A jak dotrzeć do postaci n⁴(n² − 1)⁴ ? Rozumiem, że trzeba rozłożyć wielomian na czynniki, tylko nie potrafię dojść do takiej postaci.

kerajs: Wpierw wyciągnięcie n⁴ przed nawias n¹² − 4n¹0 + 6n⁸ − 4n⁶ + n⁴=n⁴(n⁸−4n⁶+6n⁴−4n²+1) i tu widzę że: n⁸−4n⁶+6n⁴−4n²+1=

	4 0		4 1		4 2		4 3		4 4
=		(n2)4−		(n2)3+		(n2)2−		(n2)1+		=

=(n²−1)⁴=[(n−1)(n+1)]⁴ Jeśli tego nie widzisz to szukaj pierwiastka wymiernego. Takim jest n=1, więc n⁸−4n⁶+6n⁴−4n²+1=(n−1)(n⁷+n⁶−3n⁵−3n⁴+3n³+3n²−n−1) Ponownie sprawdzasz n=1 , a gdy jedynka nie będzie zerowała otrzymanego wielomianu to sprawdzasz n=−1 .