Całeczka. KARNEGI: Obliczyć całkę:

	1+2sin(x)√tan(x)
∫		dx
	2[1+cos(x)√tan(x)]cos(x)√tan(x)

Mariusz:

	1+2sin(x)√tan(x)
∫		dx
	2[1+cos(x)√tan(x)]cos(x)√tan(x)

t²=tan(x) 2tdt=(1+tan²(x))dx 2tdt=(1+t⁴)dx

	2t
dx=		dt
	1+t4

t²=tan(x) t⁴=tan²(x)

	sin2(x)
t4=
	cos2(x)

	1−cos2(x)
t4=
	cos2(x)

	1
t4=		− 1
	cos2(x)

	1
1+t4=
	cos2(x)

	1
cos2(x)=
	1+t4

	1
cos(x)=
	√1+t4

t²=tan(x)

	sin(x)
t2=
	cos(x)

t²=sin(x)√1+t⁴

	t2
sin(x)=
	√1+t4

	2t2   1+ * t   √1+t4		2t
∫		*		dt
	1   1   2(1+ * t) * *t   √1+t4   √1+t4		1+t4

	2t3   (1+ )t   √1+t4
∫		dt
	t   (1+ )t√1+t4   √1+t4

	2t3   (1+ )   √1+t4
∫		dt
	t   (1+ )√1+t4   √1+t4

	√1+t4+2t3
∫		dt
	√1+t4(√1+t4+t)

Na pierwszy rzut oka wygląda na to że funkcja pierwotna jest wyrażona za pomocą całki eliptycznej ale można jeszcze próbować podstawiać

	1		1
np u=t+		czy v=t−
	t		t

Mariusz:

	√1+t4+2t3
∫		dt
	√1+t4(√1+t4+t)

u = √1+t⁴+t

	4t3
du = (1+		)dt
	2√1+t4

	2t3
du = (1+		)dt
	√1+t4

	√1+t4+2t3
du =		dt
	√1+t4

	√1+t4+2t3		1
∫		dt=∫		du
	√1+t4(√1+t4+t)		u

	1
∫		du=ln|u|+C
	u

	√1+t4+2t3
∫		dt=ln|√1+t4+t|+C
	√1+t4(√1+t4+t)

Ostatecznie otrzymujemy =ln|√tan(x)+√1+tan²(x)|+C

	1
=ln|√tan(x)+		|+C
	cos(x)

KARNEGI:

	1
Brawo, jeszcze jedno dobre podstawienie daje wynik dość łatwo, u =		+√tan(x).
	cos(x)

Mariusz: No ja tego podstawienia nie widziałem i rozbiłem je na dwa podstawienia To pierwsze podstawienie widziałem od razu a nad tym drugim musiałem się zastanowić co widać po zdaniu "Na pierwszy rzut oka wygląda na to że funkcja pierwotna jest wyrażona za pomocą całki eliptycznej ale można jeszcze próbować podstawiać"