równanie okręgu anonim123: wyznacz równanie okręgu wpisanego w trójkąt o bokach zawartych w prostych x=4, 3x−4y+36=0, 4x+3y+23=0

kotek: o: (x+1)²+(y−2)²=25 ================

anonim123: A można prosić o rozwiązanie?

chichi: Jakie są dwie ostatnie proste względem siebie?

kotek: ⊥

chichi: No to zadanie już praktycznie rozwiązane, może autorka w końcu się wysili? Całe życie gotowce...

janek191:

anonim123: Dziękuję

Mariusz: anonim masz trzy równania prostych Pamiętasz konstrukcję dwusiecznej Masz dane równania prostych zawierających ramiona kąta 1. Wybierasz równania dwóch prostych i rozwiązujesz układ równań aby otrzymać współrzędne wierzchołka kąta 2. Na jednym z ramion kąta obierasz sobie punkt D (punkt D obierasz sobie dowolnie na ramieniu kąta aczkolwiek jest to punkt różny od B) 3. Piszesz równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu BD 4. Niech punkt E będzie przecięciem okręgu i prostej zawierającej drugie ramię kąta (to ramie na którym nie leży punkt D) Tutaj rozwiązujesz układ równań w którym jedno równanie jest równaniem okręgu z punktu 3. a drugim równaniem jest równanie ogólne prostej zawierającej drugie ramię kąta W tym punkcie dostaniesz dwa punkty E które dadzą dwie wzajemnie prostopadłe proste dla każdego dzielonego kąta więc musisz poprawnie wybrać punkt E 5. Piszesz równanie prostej przechodzącej przez punkty D oraz E 6. Piszesz równanie prostej prostopadłej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt B Powyższe kroki przeprowadzasz dla dwóch wybranych kątów otrzymując równania dwusiecznych dwóch kątów Rozwiązujesz układ równań i dostajesz współrzędne punktu S będącego środkiem okręgu wpisanego Co do promienia to też można go znaleźć sposobem konstrukcyjnym Piszesz równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej wybrany bok trójkąta i przechodzącej przez środek okręgu wpisanego Rozwiązujesz układ równań i dostajesz punkt F Liczysz odległość SF Tutaj jedyne czego nie napisałem to sposób wyboru punktu E w 4. kroku wyznaczania równania dwusiecznej

Mariusz: Kotek podejrzanie ładnie wygląda to równanie okręgu Zwykle pierwiastki wychodzą A chichi jak zwykle się mądrzy a nic sensownego nie napisał

chichi: A co ja jestem maszyna do pisania rozwiązań czy co? Jak będę chciał to napisze rozwiązanie, jak nie to nie...

Min. Edukacji: Chi Chi dobrze gada

Mariusz: "Chichi dobrze gada" ta tylko co on takiego napisał co pomogłoby użytkownikowi anonim napisać równanie tego okręgu No tak spamerów takich jak chichi i ten Min. Edukacji nie cenzorują a kerajsa który przynajmniej stara się sensownie odpowiadać już tak To pogarsza jakość tego forum

janek191: Np. 4 x + 3 y + 23 = 0 x = 4 −−−−−−−−−−−−−− Otrzymujemy: x = 4 y = −13 A=(4. −13) ======== 3 x − 4 y + 36 = 0 x = 4 −−−−−−− Otrzymujemy x = 4 y =12 B = ( 4, 12 ) ========= 3 x − 4y+36 = 0 / * 4 4 x + 3y + 23 = 0 / * 3 −−−−−−−−−−−− 12 x − 16 y + 144 = 0 12 x + 9 y + 69 = 0 −−−−−−−−−−− odejmujemy stronami 25 y = 75 y = 3 ==== więc x = − 8 ========= C = ( − 8, 3) ============= zatem I AB I = 12 − (−13) = 25 I AC I = √(−12)² + 16² = √400 = 20 I BC I = √(−12)² + (−9)² = √225 = 15

	25 +20 + 15
p =		= 30
	2

P = 0,5*20*15 = 150 więc

	P		150
r =		=		= 5
	p		30

Niech S = ( a, b) więc odległości od prostych są równe

I 3 a − 4 b + 36 I
	= r = 5
√32 +(−4)2

oraz

I 4 a + 3 b + 23 I
	= r = 5
√42 +32

czyli I 3 a − 4 b + 36 I = 25 I 4 a + 3 b + 23 I = 25 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3a − 4 b = − 11 / * 4 4a + 3 b = 2 / * 3 −−−−−−−−−−−−−−− 12 a − 16 b = − 44 12 a + 9 b = 6 −−−−−−−−−−−− 25 b = 50 b = 2 zatem a = − 1 oraz S = ( − 1, 2) Równanie okręgu wpisanego: ( x + 1)² = ( y − 2)² = 5² ======================

janek191: Poprawka: ( x + 1)² + ( y − 2)² = 25

kotek: Piszemy równanie dwusiecznej kąta wewnętrznego: d₁ : |3x−4y+36|=5|x−4| ⇒ 3x−4y+36= −5x+20 ⇒ y=2x+4 d₂ : |4x+3y+23|=5|x−4| ⇒ 4x+3y+23= −5x+20 ⇒ y= −3x−1 S= d₁∩d₂ : 2x+4= −3x−1 ⇒ x=−1 i y= 2 to S=(−1,2) P=(4,2) r =|SP|= 5 o : (x+1)²+(y−2)²=25 =================

Mariusz: kotek a dlaczego po opuszczeniu tej wartości bezwzględnej po prawej stronie wziąłeś(aś) wartość z minusem w obydwu przypadkach kotek tak zgadza się ja podałem sposób oparty o konstrukcję dwusiecznej który może i jest dłuższy ale łatwiej na niego wpaść o ile pamiętamy konstrukcję dwusiecznej Kotek mimo iż sposób przez ciebie przedstawiony jest nieco krótszy od sposobu konstrukcyjnego to i tak w nim też musimy wybierać równanie dwusiecznej Jest jednak sposób na równanie dwusiecznej który nie wymaga wyboru jednej z dwóch wzajemnie prostopadłych prostych dla każdego dzielonego kąta

Mila: 1) Wykorzystuję prostopadłość prostych: a: 3x−4y+36=0 b: 4x+3y+23=0 k⊥m, n⊥OX 2) Obliczenia u Janka C=(−8,3) , B=(4,12),A=(4,−13) |AC|=20, |BC|=15, |AB|=20 3) a+b=2r+2R 15+20=2r+25 r=5, r⊥n w punkcie styczności S leży na prostej x=−1 4) Kreślę prostą równoległą do AC ( b) odległą od niej o 5. CB^→[12, 9] |CB|=15

	1
|CB'|=5 ⇔CB=		*[12,9]=[4,3]
	3

B'=(−8+4,3+3)=(−4,6) b': 4x+3y+C'=0 i B'∊b'⇔ −16+18+C'=0, C'=(−2) b' : 4x+3y−2=0

	4		2		4		2
y=−		x+		, y=−		*(−1)+		=2
	3		3		3		3

S=(−1,2) − punkt przecięcia prostych : x=−1, 4x+3y−2=0 5)Równanie okręgu: (x+1)²+(y−2)²=25 ===============

Mariusz: Ale to nie będzie ogólne przy danych innych prostych już to nie zadziała Sposób z przecięciem dwusiecznych do wyznaczenia środka jest ogólny ale trzeba odpowiedzieć na pytanie jakie równanie prostej wybrać lub podać sposób na równanie dwusiecznej który daje tylko jedną prostą Zarówno sposób wynikający z konstrukcji dwusiecznej (ten który ja opisałem) jak i sposób polegający na przyrównaniu odległości punktu od obydwu ramion kąta (ten przedstawiony przez Kotek) dają dwie wzajemnie prostopadłe proste dla każdego dzielonego kąta więc trzeba podać jak poprawnie wybrać równanie dwusiecznej albo podać sposób na równanie dwusiecznej który dla każdego dzielonego kąta daje tylko jedną prostą Kotek jakoś nie odpowiedział na pytanie dlaczego akurat taką prostą wybrał −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Inaczej można by skorzystać z tego że szukany okrąg jest styczny do każdego z boków więc mielibyśmy układ trzech równań kwadratowych powstały następująco Piszemy równanie okręgu przyjmując za współrzędne środka i promienia jakieś nieznane wartości Piszemy równanie prostej do której okrąg ma być styczny Wyznaczamy jedną z niewiadomych (x bądź y) z równania prostej i wstawiamy do równania okręgu a następnie liczymy wyróżnik tak powstałego równania Wyróżnik ten przyrównujemy do zera i otrzymujemy równanie kwadratowe Powyższe kroki wykonujemy dla każdej z podanych prostych i dostaniemy układ trzech równań kwadratowych z trzema niewiadomymi

Mila: Mariusz, w planimetrii nie działa się schematami, wykorzystuje się własności figur. Czasem rozwiązanie jest proste, innym razem skomplikowane. Czasem dużo rachunków , innym razem mało − w zależności od tego co zauważymy w danej chwili.

chichi: Mariusz działa tylko i wyłącznie schematami...

Eta:

chichi:

Eta: Jak wyżej C(−8,3) r=|CD|=|DO|=5 i z wektorów CD ⊥pr.CB to → CD= [3,−4] ⇒ D=(−8+3,3−4)= (−5,−1) DO= [4,3] ⇒ O=(−5+4, −1+3) = (−1,2) o: (x+1)²+(y−2)²=25

Eta:

Mariusz: Mnie najbardziej podoba się rozwiązanie użytkownika kotek jednak brakuje mi w nim następującej rzeczy kotek napisał "Piszemy równanie dwusiecznej kąta wewnętrznego: d1 : |3x−4y+36|=5|x−4| ⇒ 3x−4y+36= −5x+20 ⇒ y=2x+4 d2 : |4x+3y+23|=5|x−4| ⇒ 4x+3y+23= −5x+20 ⇒ y= −3x−1" No i skąd wiedział że po opuszczeniu wartości bezwzględnej po prawej stronie równania należy zmienić znak Kotek nie podał kiedy zmieniać znak po opuszczaniu wartości bezwzględnych i to jest wielki minus jego rozwiązania poza tym jest ok Ciekawe czemu uparł się na przyrównanie odległości punktu od ramion kąta Na równanie dwusiecznej jest inny sposób który daje tylko równanie dwusiecznej kąta wewnętrznego

Mila: Mariusz, były już dwa rozwiązania, ponieważ nie wiedziałeś, którą dwusieczną wybrać to napisałam rozwiązanie bez korzystania z dwusiecznej. W każdym przypadku, możesz uniknąć z równań dwusiecznych ale trochę więcej jest obliczeń. Jeżeli ustalasz długość promienia i dalej szukasz wsp. środka okręgu wpisanego, to masz więcej obliczeń. Przeanalizuj rozwiązanie z 20:26. To nie jest trudne, a sposób jest prosty.

Mila: Poszukaj wzoru na współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt, jeśli znasz wsp. wierzchołka Δ. Jest na forum. Długości boków i wsp. wierzchołków Δ są całkowite, 5 minut i masz rozwiązanie.

kotek: @ Mariusz Ja Twoich "trylogii" na temat rozwiązania banalnego zadania nie czytam bo kotek jest leniwy Narysowałam proste zawierające boki trójkąta i wybrałam równania tych dwusiecznych, które przecinają się we wenętrzu trójkąta i po ptokach Gdybyś uczył w szkole takimi "rozwlekłymi" metodami to lekcja musiałaby trwać co najmniej 180 min Pozdrawiam

Mariusz: Mila widziałem ten wzór ale koleś podał go bez uzasadnienia Nawet nie wiadomo czy jest prawdziwy Znam sposób na równanie dwusiecznej który daje tylko dwusieczną kąta wewnętrznego i bynajmniej nie poznałem go na forach internetowych Jeżeli chodzi o wybór dwusiecznej dla przedstawionego przeze mnie sposobu bazującego na konstrukcji dwusiecznej to poznałem go na anglojęzycznym forum jednak chciałem abyście wy go podali Kotek bez warunku na wybór dwusiecznej twoje rozwiązanie jest bezużyteczne Można wybrać tę dwusieczną bez rysowania Sposób który podałem może i jest trochę dłuższy od tego co ty podałaś ale łatwo na niego wpaść znając konstrukcję dwusiecznej Programu do rysowania okręgu wpisanego w trójkąt raczej byś nie napisała ani nawet takiego który by wypisywał na ekran to rozwiązanie To zadanie programistyczne też jest banalne ale aby program dobrze działał byś musiała oprogramować sposób na równanie dwusiecznej który daje tylko równanie dwusiecznej kąta wewnętrznego albo przynajmniej oprogramować sposób wyboru dwusiecznej Tak z ciekawości Kotek = Eta ?

Mila: Mariusz −Napiszę wyprowadzenie wzoru, ale nie dzisiaj.

Pr713: Przejdź może @Mariusz na inne forum jak tutaj Ci się nudzi

Mariusz: Powiedział co wiedział (przy czym powiedział to tak dla rymu bo tak stricte powinno być napisał) Mila istnieje sposób na wyprowadzenie tego wzorku na współrzędne środka okręgu wpisanego bez korzystania z równania dwusiecznych Gdybyśmy zmodyfikowali to zadanie w następujący sposób Wyznacz równanie okręgu wpisanego w trójkąt o bokach zawartych w prostych a₁x+b₁y+c₁=0 , a₂x+b₂y+c₂=0, a₃x+b₃y+c₃=0 przy założeniu że te proste są parami nierównoległe to jak byście to zadanie rozwiązali ? Spróbuję teraz napisać dlaczego sposób konstrukcyjny działa Masz dane równania prostych zawierających ramiona kąta Sposób konstrukcyjny wariant I 1. Wybierasz równania dwóch prostych i rozwiązujesz układ równań aby otrzymać współrzędne wierzchołka kąta 2. Na jednym z ramion kąta obierasz sobie punkt D (punkt D obierasz sobie dowolnie na ramieniu kąta aczkolwiek jest to punkt różny od B) 3. Piszesz równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu BD 4. Niech punkt E będzie przecięciem okręgu i prostej zawierającej drugie ramię kąta (to ramie na którym nie leży punkt D) Tutaj rozwiązujesz układ równań w którym jedno równanie jest równaniem okręgu z punktu 3. a drugim równaniem jest równanie ogólne prostej zawierającej drugie ramię kąta W tym punkcie dostaniesz dwa punkty E które dadzą dwie wzajemnie prostopadłe proste dla każdego dzielonego kąta więc musisz poprawnie wybrać punkt E 5. Piszesz równanie prostej przechodzącej przez punkty D oraz E 6. Piszesz równanie prostej prostopadłej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt B Otóż sposób ten działa bo konstruujemy tutaj trójkąt równoramienny w którym prosta prostopadła do prostej zawierającej podstawę tego trójkąta i naprzeciwległy wierzchołek dzieli ten trójkąt równoramienny na dwa przystające trójkąty prostokątne Sposób konstrukcyjny wariant II 1. Wybierasz równania dwóch prostych i rozwiązujesz układ równań aby otrzymać współrzędne wierzchołka kąta 2. Na jednym z ramion kąta obierasz sobie punkt D (punkt D obierasz sobie dowolnie na ramieniu kąta aczkolwiek jest to punkt różny od B) 3. Piszesz równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu BD 4. Niech punkt E będzie przecięciem okręgu i prostej zawierającej drugie ramię kąta (to ramie na którym nie leży punkt D) Tutaj rozwiązujesz układ równań w którym jedno równanie jest równaniem okręgu z punktu 3. a drugim równaniem jest równanie ogólne prostej zawierającej drugie ramię kąta W tym punkcie dostaniesz dwa punkty E Punkt E wybierasz tak aby ∡DEC był kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt ∡DBC (przy założeniu że punkt B jest wierzchołkiem dzielonego kąta a punkt D leży na tej samej prostej co A) 5. Piszesz równanie prostej przechodzącej przez punkty D oraz E 6. Piszesz równanie prostej równoległej do DE i przechodzącej przez punkt B Tutaj korzystamy z twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku Korzystamy też z tego że jeśli prostą przetniemy dwiema równoległymi do siebie prostymi to odpowiednie kąty będą miały równe miary Jeżeli będziemy umieli wybrać punkt E w kroku 4. tak aby ∡DEC był kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt ∡DBC to poradzimy sobie zarówno z wariantem I jak i z wariantem II Sposób przedstawiony przez użytkownika Kotek może i jest szybszy ale to czy po opuszczaniu wartości bezwzględnej zmieniamy znak nie jest już takie oczywiste Istnieje jeszcze sposób w którym równanie dwusiecznej otrzymujemy jednoznacznie tzn nie musimy w nim wybierać prostej zawierającej dwusieczną kąta wewnętrznego ale skoro wy nie chcecie go pokazać to i ja go nie pokażę

Mariusz: Oj tutaj mały błędzik w oznaczeniu kątów otóż Z układu równań w kroku 4. dostajemy dwa punkty E oraz E' I teraz punkt E wybieramy tak aby kąt ∡DEE' był kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy ∡DBE' W wariancie I punkt E odrzucamy a zostawiamy punkt E' a w wariancie II punkt E zostawiamy a odrzucamy punkt E' Kąty ∡DEC oraz ∡DBC mają taką samą miarę co kąty ∡DEE' oraz ∡DBE' ale mogą nie być oparte na tym samym łuku

pr713: Nie widzisz, że nikogo to nie interesuje?

pr713: Jeszcze piszesz takie referaty o 6 rano...

janek191: Pewnie nie może spać ?

pr713: Najwidoczniej

chichi: Nie używaj "" bo jeszcze pomyśli, że to ja mu tu wypominam, ale słusznie mnie również to nie interesuje

Mariusz: Mila napisała że wyprowadzi ten wzór na środek okręgu wpisanego bez dwusiecznych ale jakoś nie odpowiada ", ale słusznie mnie również to nie interesuje" To po co odpisujesz Zresztą i tak nic sensownego tutaj nie napisałeś Rozwiązanie przedstawione przez Kotek byłoby dobre gdyby pokazała kiedy zmieniać znak przy opuszczaniu wartości bezwzględnej

Pr713: To czekaj dalej

anonim123: Skąd u janek191 duże P i obliczenie r?

anonim123: Już znalazłam na internecie ten wzór

Mariusz: "To czekaj dalej " No właśnie to pokazuje ile warte są zdania napisane przez Milę anonim to jest wzór na pole powierzchni trójkąta Ten wzór akurat bardzo łatwo wyprowadzić ale oni i tak ci nie napiszą tego bo jedyne co umieją to tylko spamować Jak go wyprowadzić − otóż dzielisz trójkąt na trzy mniejsze w ten sposób aby promień okręgu wpisanego był wysokością każdego z tych trzech mniejszych trójkątów a następnie liczysz sumę tych trzech trójkątów na które podzieliłaś wyjściowy trójkąt

Mariusz: * sumę pól powierzchni , tego mi tutaj zabrakło

anonim123: Dziękuję😏

Mila: Współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt o danych wierzchołkach. A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂), C=(x₃,y₃} I=(x_s,y_s) 1) Współrzędne punktu D=(d₁,d₂).

BD		c
	=		=k
DC		b

	c   x2+ *x3   b
d1=		⇔
	c   1+   b

	x2b+c*x3
d1=
	b+c

	y2*b+cy3
d2=
	b+c

2) Współrzędne punktu I=(x_s,y_s)

AI		b+c
	=		=k
ID		a

	b+c   x1+ *d1   a		ax1+(b+c)*d1
xs=		=
	b+c   1+   a		a+b+c

	x2b+c*x3   ax1+(b+c)*   b+c
xs=
	a+b+c

	ax1+b*x2+c*x3
xs=
	a+b+c

	ay1+b*y2+c*y3
ys=
	a+b+c

======================

;):

	AS
Zastanawiam się skąd się wzięła zależność z 22:28 ( tutaj:		chyba chodziło o AI a nie
	AB

AS względem oznaczeń) I skąd wiemy że to się równa skali tak samo jak reszta ilorazów? Tak samo nie rozumiem skąd się wzięła zależność 2) z dwusiecznych, bo 1) to z twierdzenia dwusiecznej. Tak samo współrzędna x_s = ...

;): Mogłabyś wytłumaczyć też dlaczego raz piszesz że x_s = ...*x₂ a potem *d₁? Jedno to współrzędna punktu B a drugie to D

Mila: Współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt o danych wierzchołkach. Wiadomości: 1) Podział odcinka AB w danym stosunku: A =(x₁, y₁) B=(x₂, y₂) liczba k>0 (dodatnia),

AS
	=k,
SB

Współrzędne : S(x_s,y_s) x_s = (x₁ + k*x₂)/(1 + k) y_s = (y₁+ k*y₂)/(1 + k)

Mila: 2) a)

BD		c
	=
DC		b

b) W ΔADB −BI jest dwusieczną kąta B

	BD		DI
stąd		=		obliczymy BD z ΔBCA z tw (1)
	c		AI

	ca
BD=
	b+c

c*a   b+c		DI		a		DI
	=		⇔		=
c		AI		b+c		AI

AI		b+c
	=
ID		a

;):

	AS		AI
To to okej,		= k, ale dlaczego też		= k jeśli dlatego że patrzymy na mały
	SB		ID

	b+c
trójkąt BDA i podział AD przez dwusieczną to ok, ale skąd ta proporcja
	a

;): Dalej, skąd się bierze zależności na x_s? Licznik jest dla mnie w miarę jasny, mianownik nie

Mila: Może jutro wyjaśnię Dobranoc.

;):

	ac
Teraz wszystko rozumiem w twoim poście 00:40 oprócz przejścia BD =		, Akurat piszesz
	...

to do czego doszedłem sam 😂

;): Dobranoc

;): obliczymy BD z ΔBCA z tw (1) − tutaj dalej za bardzo nie rozumiem skąd − CF jako dwusieczna? Ta skala k to jest stosunek przecięcia się dwusiecznych? Skąd wiemy że jest on równy?

chichi: A dlaczego piszesz pod innym nickiem?

;): Czasami tak lubię

;): Swoją drogą, pewnie sam się podłączasz pod moje pytanie

circle: Masz narysowane dwusieczne 3 kątów Δ. BE jest dwusieczną kąta B w ΔABC , zatem CI jest dwusieczną kąta B w ΔABD. Z tw. o dwusiecznej kąta mamy :

AB		AI
	=
BD		ID

chichi: Nigdzie się nie podłączam

Mila:

Mariusz: Milu chciałbym ci podziękować po pierwsze za to że pokazałaś jak wyprowadzić ten wzorek na współrzędne środka okręgu wpisanego a po wtóre (nawet ważniejsze) za to że dowiodłaś iż dotrzymujesz obietnic − że twoje słowa coś znaczą A ja niepotrzebnie dałem się sprowokować tym osobom co nic nie wnieśli do tematu i stąd zbyt pochopny osąd Wszystkiego najlepszego

Mila: Wybaczam.

;):

	ac
@circle napisałeś dosłownie to samo co Mila, a skąd się wzięła zależność BD =		.
	b+c

	ID		BD		BD		c
Mamy na razie		=		oraz		=		. Miałeś na myśli z dwusiecznych BI
	AI		c		DC		b

i CI? Jak możesz to rozpisz, no i jeszcze dlaczego w x_s w mianowniku jest 1+k

Mariusz: 1. Wybierasz równania dwóch prostych i rozwiązujesz układ równań aby otrzymać współrzędne wierzchołka kąta 2. Na jednym z ramion kąta obierasz sobie punkt D (punkt D obierasz sobie dowolnie na ramieniu kąta aczkolwiek jest to punkt różny od B) 3. Piszesz równanie okręgu o środku w punkcie B i promieniu BD 4. Niech punkt E będzie przecięciem okręgu i prostej zawierającej drugie ramię kąta (to ramie na którym nie leży punkt D) Tutaj rozwiązujesz układ równań w którym jedno równanie jest równaniem okręgu z punktu 3. a drugim równaniem jest równanie ogólne prostej zawierającej drugie ramię kąta W tym punkcie dostaniesz dwa punkty E które dadzą dwie wzajemnie prostopadłe proste dla każdego dzielonego kąta więc musisz poprawnie wybrać punkt E 5. Piszesz równanie prostej przechodzącej przez punkty D oraz E 6. Piszesz równanie prostej prostopadłej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt B Jeżeli chodzi o powyższy sposób konstrukcyjny znajdowania równania dwusiecznej to sam pomysł z trójkątem równoramiennym dzielonym na dwa przystające trójkąty prostokątne jest dobry Problemem jest to że do układu równań z kroku 4. wziąłem równanie prostej a ramię kąta jest półprostą i stąd jedno dodatkowe równanie Gdybyśmy znaleźli inny sposób na uzyskanie trójkąta równoramiennego niż rozwiązanie tego układu równań z okręgiem i prostą to moglibyśmy dostać równanie dwusiecznej tylko kąta wewnętrznego Czego możemy użyć aby znaleźć współrzędne wierzchołków tego trójkąta równoramiennego ? Wierzchołki te powinny leżeć na ramionach kąta więc układ równań z okręgiem i prostą tutaj nie pasuje

Mila: 1) W ΔABC: Z tw. o dwusiecznej kąta A

c		e
	=		i e+f=a
b		f

c		e
	=
b		f

	e*b
cf=eb⇔ f=
	c

	e*b
e+		=a
	c

	b
e*(1+		)=a
	c

	c+b
e*		=a
	c

	c
e=a*
	b+c

	ac
e=
	b+c

2) W ΔABD: Z tw. o dwusiecznej kąta B

c		AI
	=
e		ID

c		AI
	=
ac   b+c		ID

	b+c		AI
c*		=
	ac		ID

AI		b+c
	=		=k w takim stosunku jest podzielony odcinek AD
ID		a

3) Dalej z wzoru na współrzędne I(x_s,y_s) A=(x₁,y₁), D=(d₁,d₂)

	b+c   x1+ d1   a
xs=		⇔ mnożę licznik i mianownik przez a
	b+c   1+   a

	ax1+(b+c)*d1
xs=
	a+b+c

dalej wiadomo? Mam nadzieję, że nie ma literówek.

Mariusz: Co do równania dwusiecznej to problemów z wyborem równania nie będzie jeżeli do znalezienia wierzchołków trójkąta równoramiennego dzielonego na dwa przystające trójkąty prostokątne użyjemy wektorów Mila całkiem niezły sposób pokazujący że do znalezienia współrzędnych środka okręgu wpisanego nie trzeba znać równań dwusiecznych

:) : Mila, już zrozumiałem prawie wszystko oprócz "wzoru" na x_s . Rozumiem że w liczniku mamy x₁ + k*d₁,

	AI
bo		= k ⇒ AI = k*ID, tak? Ale mianownika kompletnie
	ID

:) : "dalej wiadomo?" − tak

:): Odnośnie tego wzoru na x_s, jeśli mamy AS /SD = 3 = k oraz x_A = 1, x_D = 4 ( już wiemy że x_s = 3) To ze wzoru mamy x_s = (1+3*4)/(1+3) = 13/4 a nie 3

:): Dobra usuń Mila moje posty oprócz drugiego, już ogarnąłem, a żeby nie było bałaganu, x_s = 3,25 Wszystko jasne dzięki <3

daras: @Mila usuń wszystkie posty od początku tego forum i... postaw go na nowo co Ty na to?

:): Miałem na myśli 3 posty...

Mila: Ad 16:06 musisz napisać z której godziny usunąć wpisy, w tym wątku jest taki bałagan, że mogłabym usunąć nie to, co chciałbyś. daras lubię Twoje poczucie humoru

:): Jak chcesz to proszę usuń np ostatnie 5

:):

	BD
Mam tylko jeszcze pytanie odnośnie tego czy na pewno		= k? 15 kwietnia 22:29
	DC

	AI
Natomiast odnośnie 18 kwietnia 17:38		że to równa się k to okej, bo takie daliśmy
	ID

założenie, że AD jest podzielony w skali k, ale co do BD i DC nie mogę znaleźć uzasadnienia

:): Czy tam po prostu niepotrzebnie to dopisałaś? Bo w sumie to że BD do DC jeśli by się równało skali k to i tak to chyba nie jest przydatne

Mila: ad. 17:18 Potrzebne w dowodzie do ustalenia współrzędnych punktu D, które wykorzystuje się do ustalenia współrzędnych środka okręgu wpisanego w podany trójkąt.

Mariusz: A przede wszystkim usuń darasa albo pokaż choć jeden wątek w którym pomógł

daras: @ Mariuszku take it easy ! zawsze jesteś niesprawiedliwy, to pewnie wina twojego ego lepiej załóż okulary

kerajs: ''Mariusz: (...) pokaż choć jeden wątek w którym pomógł'' Zdefiniuj co to znaczy ''pomógł'', a ja wskażę wątek.

Mariusz: Milu dobrze że pokazałaś jak znaleźć ten środek okręgu Uniezależniłaś w ten sposób rozwiązanie od danych konkretnych równań prostych tzn rozwiązanie będzie nadal poprawne gdy zmienimy równania tych prostych (byleby nie były parami równoległe) Rozwiązanie użytkownika kotek jest niepełne bo nie chciała odpowiedzieć nam na pytanie kiedy zmieniać znak przy opuszczaniu wartości bezwzględnych w równaniu dwusiecznej (Jeżeli wykorzystamy ten sam pomysł co w podejściu konstrukcyjnym ale rachunki będziemy wykonywać na wektorach to nie będzie problemów z wyborem równania dwusiecznej)

:): @Mila ad 22:30 To skąd wiemy że punkt D dzieli odcinek AC w takim samym stosunku jak punkt I odcinek AD?

:):

	c		e
Przecież jeśli		=		= k
	b		f

	c		b		AI		c
To cf = be, ale		=		=		, a		≠ k
	e		f		ID		e

:): Czy to jest aby na pewno podział w tej samej skali k? Czy nie są to dwie różne skale k₁ i k₂?

Mariusz: Milu podpowiedziałabyś jak uprościć rozwiązanie następującego układu równań (z samym rozwiązaniem nie powinno być problemu jeśli znamy podstawy rachunku macierzowego − wyznaczniki lub macierz odwrotna i mnożenie) ((x_A − x_B)b − (x_A − x_C)c)x − ((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c)y = x_A((x_A − x_B)b − (x_A − x_C)c) − y_A((y_B − y_A)b − (y_C − y_A)c) ((x_A − x_B)a + (x_B − x_C)c)x − ((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c)y = x_B((x_A − x_B)a + (x_B − x_C)c) − y_B((y_B − y_A)a + (y_C − y_B)c) Powyższe równania otrzymałem ze sposobu konstrukcji dwusiecznej ale nie mam pomysłu na uproszczenie rozwiązania tego układu Jeżeli wklepiecie sobie te równania do Geogebry to z dokładnością do błędu numerycznego pokaże wam że te równania rzeczywiście są równaniami dwusiecznych (kąta przy wierzchołku A oraz kąta przy wierzchołku B)