Dowody marność: Zad 1. Niech m, n ∈ N. Pokaż, że jeśli m + n ≥ 101, to m ≥ 51 lub n ≥ 51.

wredulus_pospolitus: niech m ≤ 50 w takim razie 50 + n ≥ m+n ≥ 101 −−−> 50 + n ≥ 101 −−> n ≥ 51 niech n ≤ 50 ... wtedy m ≥ 51 c.k.d.

marność: Dziękuję!

Pecunia non olet: nie wykorzystano założenia o naturalności bez tego jest na przykład taka możliwość m=50.6 n=50.7 m+n=101.3 opuszczona powyżej w tych przypadkach

marność: Czyli tak trzeba uzupełnić? : niech m ≤ 50 ⋀ m,n ∊ ℕ w takim razie 50 + n ≥ m+n ≥ 101 −−−> 50 + n ≥ 101 −−−> n ≥ 51 niech n ≤ 50 ⋀ m,n ∊ ℕ w takim razie 50 + m ≥ n+m ≥ 101 −−−> 50 + m ≥ 101 −−−> m ≥ 51

marność: Zad 3. Pokaż, że ∀_n∊ ℕ n³ + n jest parzysta n³ + n = n(n² + 1), n ∊ ℕ Jeśli n jest nieparzysta i należy do liczb naturalnych, to tym bardziej podniesiona do kwadratu będzie liczbą nieparzystą. Następnie po zwiększeniu o jeden będzie liczbą parzystą. A każda liczba naturalna parzysta pomnożona przez naturalną nieparzystą da nam w wyniku liczbę parzystą. Jeśli n jest parzysta i należy do liczb naturalnych, to tym bardziej podniesiona do kwadratu będzie liczbą parzystą. Następnie po zwiększeniu o jeden będzie liczbą nieparzystą. A każda liczba naturalna nieparzysta pomnożona przez naturalną parzystą da nam w wyniku liczbę parzystą. c.n.u Czy taki dowód przejdzie?

marność: Zad 4. Niech k ∈ N oraz m−liczba nieparzysta. Pokaż, że każdą dodatnią liczbę całkowitą można zapisać jako 2^km. Podaj tę postać w przypadku konkretnych liczb, np. 23, 736.

Ambroży z fabryki noży: opowiadając po chłopsku dzielisz przez dwa dopóki się da , a jak się nie da to zostaje liczba nieparzysta przy czym wymagane jest żeby 0∊N , bo 23=2⁰ *21

chichi: 11:08 jeśli n parzysta, to postaci n = 2k, gdzie k ∊ ℕ, jeżeli nieparzysta, to postaci n = 2m + 1, gdzie m ∊ ℕ, teraz swoje słowa zapisz po matematycznemu korzystając z tego co napisałem

marność: Zad 3. Jeśli n jest parzysta, to postaci n = 2k, gdzie k ∊ ℕ. Czyli n³ + n = (2k)³ + 2k = 8k³ + 2k = 2k(4k²+1). 2|2k zatem liczba jest parzysta. Jeśli n jest nieparzysta, to postaci n = 2m + 1, gdzie m ∊ ℕ. Czyli n³ + n = (2m + 1)³ + 2m +1 = (2m +1) * ((2m 1)² +1) = (2m + 1) * (4m² +4m + 2) = (2m + 1) * 2(2m² + 2m + 1) = 2(2m +1)(2m² + 2m +1). 2|2 zatem liczba jest parzysta. c.n.u Tak jest ok?

chichi: No z tym, że na końcu pisz, że 2 dzieli całe to wyrażenie, a nie 2 dzieli 2, bo to takie masło maślane i nic nie wnosi

marność: Rzeczywiście, dziękuję

marność: Zad 6. Pokaż, że wśród dowolnych 3 liczb całkowitych występują 2, których suma jest parzysta. Czy w tym przypadku trzeba skorzystać z zasady szufladkowej Dirichleta? :\

ite: Nie, przecież wszystkie trzy wybrane losowo liczby całkowite mogą być tej samej parzystości.

marność: P − liczba parzysta całkowita N − liczba nieparzysta całkowita P + P = P N + N = P P + N = N Możliwe kombinacje a) wszystkie parzyste b) wszystkie nieparzyste c) dwie nieparzyste i parzysta d) dwie parzyste i nieparzysta Jeśli liczba jest parzysta, to postaci 2k, gdzie k ∊ ℕ Jeśli liczba jest nieparzysta, to postaci 2k + 1, gdzie m ∊ ℕ a) 2k + 2k = 4k 2|4k −−> zatem występują co najmniej dwie, których suma jest parzysta b) 2k+1 + 2k + 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1) 2|2(2k+1) −−> zatem występują co najmniej dwie liczby, których suma jest parzysta c) obie liczby nieparzyste dadzą w wyniku parzystą (z b) d) obie liczby parzyste dadzą w wyniku parzystą (z a) Jest ok?

marność: Zad 5. W pewnej grupie n osób wita się ze sobą podając sobie rękę, przy czym żadna para osób nie wita się więcej niż 1 raz, jak również nikt nie wita się sam ze sobą. Pokaż, że przynajmniej 2 osoby witały się z taką samą liczbą pozostałych osób.

I'm back: No dobrze.... masz jakiś pomysł na to zadanie? Jakieś przemyślenia?

marność: Pomyślałem, że możemy numerować szufladki od 0 do n−1. Skoro jest n − osób, nikt nie wita się sam ze sobą oraz żadna para osób nie wita się więcej niż 1 raz, to w jednej lub więcej szufladkach musi się znaleźć więcej niż jedna osoba.

marność: Zakładając, że ktoś się z nikim nie przywita

marność: *numerując szufladki liczbą przywitań

marność: I chyba podobnie można też rozwiązać zadanie 7: W wypożyczalni samochodów znajduje się 991 samochodów, jak również do niej należy 10 identycznych parkingów. Wykaż, że jeśli żaden z pojazdów nie jest wypożyczony, to na jednym z parkingów znajduje się co najmniej 100 samochodów. Szufladki możemy ponumerować od 1 do 10. Zakładając, że ktoś chciałby rozprowadzić samochody równomiernie na wszystkie parkingi to 991%10 = 99.1. Czyli na jednym parkingu musi być co najmniej 100 samochodów. Czy tak jest w porządku?

marność:

kerajs: 1) Niech n, m <51 to n+m≤50+50. Skoro n+m >100 to założenie: n, m <51 jest nieprawdziwe. 6) Wśród trzech liczb całkowitych co najmniej dwie muszą mieć tę samą parzystość, więc ich suma jest parzysta. 5) jeśli ktoś przywitał się z pozostałymi (n−1) osobami, to nie ma osoby która z nikim(0) się nie przywitała. I odwrotnie, jeśli jest osoba która z nikim się nie witała, to nie ma takiej która witała się ze wszystkimi. To wystarcza aby liczba potencjalnych przywitań była niższa od n

ite: 17:08 zad.6 dobry kierunek analizy ale piszesz, że: Możliwe kombinacje a) wszystkie parzyste Jeśli liczba jest parzysta, to postaci 2k, gdzie k ∊ ℕ i teraz sumujesz dwie takie same liczby, a przecież wybrane losowo liczby mogą być różne i nie możesz zakładać, że są wśród nich równe 2k + 2k = 4k 2|4k −−> zatem występują co najmniej dwie, których suma jest parzysta więc potrzebna poprawka w zapisie tego pomysłu

marność: Dziękują za pomoc, odpowiem po ponownym przeanalizowaniu zadań

marność: Zad 6. P − liczba parzysta całkowita N − liczba nieparzysta całkowita P + P = P N + N = P P + N = N Możliwe kombinacje a) wszystkie parzyste b) wszystkie nieparzyste c) dwie nieparzyste i parzysta d) dwie parzyste i nieparzysta Jeśli liczba jest parzysta, to postaci 2k, 2m lub 2n, gdzie k,m,n ∊ ℕ Jeśli liczba jest nieparzysta, to postaci 2k + 1, 2m + 1 lub 2n + 1 gdzie k,m,n ∊ ℕ a) 2k + 2m = 2(k + m) 2|2(k + m) −−> zatem występują co najmniej dwie liczby, których suma jest parzysta b) 2k+1 + 2n + 1 = 2k + 2n + 2 = 2(k + n + 1) 2|2(k+ n +1) −−> zatem występują co najmniej dwie liczby, których suma jest parzysta c) obie liczby nieparzyste dadzą w wyniku parzystą (z b) d) obie liczby parzyste dadzą w wyniku parzystą (z a) Myślę, że tak jest trochę lepiej

marność: @kejras Czyli w zadaniu 5: 0,..,n−1 − ilość potencjalnych powitań jednej osoby − > możliwych powitań: n−1 −> osób jest n −> z zasady szufladkowania przynajmniej 2 witały się z taką samą liczbą osób

marność: Tutaj jeszcze mam dowód zad 2 z zajęć, ale nie bardzo go rozumiem Zad 2. Pokaż, że jeśli x ∊ R oraz x² = 3, to x nie jest liczbą wymierną. Krok1: x ∊ R ⋀ x² = 3 ⋀ x = ^p_q ⋀ NWD(p,q) = 1 Krok 2: p,q − nie są jednocześnie podzielne przez 3 Krok 3 (1 sposób):

	p2
3 = x2 =		→ 3q2 = p2 → 3p2, ale wiemy, że p ∊ ℤ → p2 = 3k (k ∊ ℤ) → p = √3k →
	q2

k = 3 → p² = q → q² = 3 → q = √3 → q ∉ ℤ − sprzeczność Krok 3 (2 sposób):

	p2		(3k)2
3 = x2 =		→ p * q = 3q * q → pq * p = 3q → 3|p → 3 =		↔ 1 =
	q2		q2

	3k2
		↔ q2 = 3k2 ↔ 3|q2 = 3|q * q → 3|p ⋀ 3|q, ale NWD(p,q) = 1 → sprzeczność
	q2

chichi: 1 sposób bez sensu, na końcu autor dowodu pisze, że √3 ∉ ℚ, równie dobrze mógł zrobić tak: x² = 3 ⇔ x = −√3 ∉ ℚ ⋁ x = √3 ∉ ℚ 2 sposób jest ok, zakładamy, że 'x' jest liczbą wymierną i liczby p i q są względnie pierwsze, zatem ich największy wspólny dzielnik to 1, no ale pokazujemy, że 3 dzieli zarówno p jak i q, zatem mamy sprzeczność, co dowodzi niewymierności

chichi: 3 sposób, można pokazać to również z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych

chichi: Ajjj tam w 1 jest ℤ, a nie ℚ. Źle przeczytałem sorry

kerajs: ''marność: @kejras Czyli w zadaniu 5: 0,..,n−1 − ilość potencjalnych powitań jednej osoby − > możliwych powitań: n−1 −> osób jest n −> z zasady szufladkowania przynajmniej 2 witały się z taką samą liczbą osób'' Nie napisałem ile jest możliwych powitań, lecz jedynie iż jest ich mniej niż n. Jednak to już wystarcza do potwierdzenia tezy zadania.

ite: 11:33 zapis na samym początku nie jest dobry P − liczba parzysta całkowita N − liczba nieparzysta całkowita P + P = P N + N = P P + N = N przecież to pierwsze równanie jest prawdziwe tylko dla zera, lepiej tę zależność zapisać słownie: suma dwóch dowolnych całk. liczb parzystych ... dalej jest dobrze: a) 2k + 2m = 2(k + m) 2|2(k + m) −−> suma dwóch dowolnych spośród trzech liczb parzystych jest parzysta b) 2k+1 + 2n + 1 = 2k + 2n + 2 = 2(k + n + 1) 2|2(k+ n +1) −−>suma dwóch dowolnych spośród trzech liczb nieparzystych jest parzysta A jesli masz w poleceniu przeprowadzić dowód z wykorzystaniem zasady szufladkowej Dirichleta, to skorzystaj ze wskazówki kerajsa z 20:48.

marność: Oki, dziękuję wszystkim za pomoc

marność: Miałbym jeszcze pytanie do zadania 2 z 11:53, nie rozumiem co nam daję dołączenie do założeń w kroku pierwszym największego wspólnego dzielnika

marność: up

kerajs:

	p
To założenie mówi o nieskracalności ułamka		co wykorzystasz w kroku trzecim.
	q

marność: Faktycznie, ma to sens. Dziękuję