równanie różniczkowe 2 rzędu Julekcaesar: Znajdź rozwiązane tych równania z zadanymi warunkami początkowymi: x²(1−ln(x))y''+xy'−y=0 y(1) = 2, y'(1) = 1 Wiem, że trzeba podstawić y=e^u Tylko średnio mi wychodzi. Bardzo proszę o pomoc.

Mariusz: Zobacz na dwa ostatnie wyrazy Z tego można wnieść że y=x jest całką szczególną równania i obniżyć rząd równania chyba że to podstawienie miałeś narzucone treścią zadania x²(1−ln(x))y''+xy'−y=0 y=x∫u(x)dx y' = ∫u(x)dx+xu(x) y'' = u(x)+u(x)+xu'(x) y''=2u(x)+xu'(x) (x²(1−ln(x)))(2u(x)+xu'(x))+x(∫u(x)dx+xu(x))−x∫u(x)dx=0 x³(1−ln(x))u'+2x²(1−ln(x))u+x∫u(x)dx+x²u−x∫u(x)dx=0 x³(1−ln(x))u'+2x²(1−ln(x))u+x²u=0 x³(1−ln(x))u'+x²(2−2ln(x)+1)u=0 x³(1−ln(x))u'+x²(3−2ln(x))u=0 x³(1−ln(x))u'=−x²(3−2ln(x))u

u'		−x2(3−2ln(x))
	=
u		x3(1−ln(x))

du		2ln(x)−3
	=−		dx
u		x(ln(x)−1)

	2ln(x)−3
∫−		dx
	x(ln(x)−1)

t=ln(x)−1

	1
dt=		dx
	x

	2ln(x)−2−1
∫−		dx=
	x(ln(x)−1)

	2t−1
−∫		dt
	t

	1
−∫(2−		)dt
	t

=−2t+ln(t) ln(|u|)=−2ln(x)+2+ln(ln(x)−1)+K₁ |u|=e^K₁e^−2ln(x)e²e^{ln(ln(x)−1)} u=±e^K₁e^−2ln(x)e²e^{ln(ln(x)−1)}

	ln(x)−1
u=K2
	x2

	ln(x)−1
y=x∫K2		dx
	x2

	ln(x)−1
y=K2x∫		dx
	x2

	ln(x)−1		1		1		1
∫		dx=−		(ln(x)−1)−∫(−		)		dx
	x2		x		x		x

	ln(x)−1		ln(x)−1		1
∫		dx=−		+∫		dx
	x2		x		x2

	ln(x)−1		ln(x)		1		1
∫		dx=−		+		−		+K3
	x2		x		x		x

	ln(x)−1		ln(x)
∫		dx=−		+K3
	x2		x

	ln(x)
y=K2x(−		+K3)
	x

y=−K₂ln(x)+K₂K₃x y=C₁ln(x)+C₂x

	C1
y'=		+C2
	x

C₂=2 C₁+C₂=1 C₂=2 C₁+2=1 C₁=−1 y=−ln(x)+2x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− To był mój pierwszy pomysł gdy zobaczyłem równanie a jeszcze nie przeczytałem dokładnie całego zadania Tym podstawieniem sobie skomplikujesz obliczenia bo sprowadzisz równanie do równania Riccatiego a takie równanie bez całki szczególnej trudno by ci było rozwiązać Co więcej całkę szczególną równania Riccatiego akurat tutaj trudniej znaleźć Obstawiam jednak że jeśli już zasugerowali podstawienie to chcieli ci pokazać jak dokonywać zamiany zmiennej niezależnej i podstawienie miało wyglądać tak jak w przypadku równania Eulera czyli x=e^t

Mariusz: x²(1−ln(x))y''+xy'−y=0 y=e^u y'=e^uu' y'' = (e^uu')u'+e^uu'' y'' = e^u(u''+(u')²) e^ux²(1−ln(x))(u''+(u')²)+xe^uu'−e^u=0 e^u(x²(1−ln(x))u''+(u')²+xu' − 1)=0 x²(1−ln(x))u''+(u')²+xu' − 1=0 u'=w x²(1−ln(x))w'+x²(1−ln(x))w²+xw − 1=0

	1
Teraz zauważmy że w1=		będzie całką szczególną
	x

	1		1		1
x2(1−ln(x))(−		)+x2(1−ln(x))		+x		−1=0
	x2		x2		x

−(1−ln(x))+(1−ln(x))+1−1=0 −1+ln(x)+1−ln(x)+1−1=0 0=0 Jako że równanie Bernoulliego jak i liniowe pierwszego rzędu całkuje się tymi samymi metodami (uzmiennianie stałej , czynnik całkujący) to teraz możesz podstawić :

	1
w =		+ z
	x

Aby otrzymać równanie Bernoulliego

	1		1
w =		+
	x		z

Aby otrzymać równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu

Mariusz: x²(1−ln(x))y''+xy'−y=0 Gdybyśmy chcieli zamienić zmienną niezależną to otrzymalibyśmy równanie x=e^t

dx
	=et
dt

dy		dy		dt
	=		*
dx		dt		dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

	dy		dy
x		=		e−tet
	dx		dt

	dy		dy
x		=
	dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy		dt		dt
	=		(		*		)
dx2		dt		dt		dx		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−		e−t)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=(		−		)e−2t
dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=(		−		)e−2te2t
	dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=(		−		)
	dx2		dt2		dt

	d2y		dy		dy
(1−t)(		−		)+		−y=0
	dt2		dt		dt

	d2y		dy		dy
(1−t)		− (1−t)		+		−y=0
	dt2		dt		dt

	d2y		dy		dy		dy
(1−t)		−		+ t		+		−y=0
	dt2		dt		dt		dt

	d2y		dy
(1−t)		+ t		− y = 0
	dt2		dt

Czyli zamiana zmiennej niezależnej niewiele dała Pozbyliśmy się w ten sposób logarytmów co może ułatwić całkowanie szeregiem potęgowym Wg mnie w tym równaniu najlepiej od razu zgadnąć całkę szczególną którą tutaj dość łatwo zauważyć i od razu obniżać rząd równania

Julekcaesar: Dzięki, mi osobiście najbardziej podchodzi chyba metoda z wykładu z podstawieniem. Już widzę, gdzie miałem błąd.

Julekcaesar: Jeszcze pytanie odnośnie metody ze sprowadzeniem do równania bernoulliego, co to z?

Mariusz: Serio podstawialiście aby uzyskać równanie Riccatiego ? Jak dla mnie jest to metoda dość skomplikowana choć okazało się że i tak tutaj nie było aż tak trudno zgadnąć całkę szczególną Co do redukcji równania drugiego rzędu do równania Riccatiego to ja jakiś czas temu bawiłem się w taki sposób y''+p(x)y'+q(x)y=0 y''=−p(x)y'−q(x)y | : y

y''		y'		(y')2
	=−p(x)		−q(x) | −
y		y		y2

y''		(y')2		(y')2		y'
	−		=−		−p(x)		−q(x)
y		y2		y2		y

y''*y − y'*y'		(y')2		y'
	=−		−p(x)		−q(x)
y2		y2		y

	y'		y'		y'
(		)' = −(		)2−p(x)		−q(x)
	y		y		y

	y'		1
Niech (		) =
	y		u

	u'		1		1
−		=−		−p(x)		−q(x)
	u2		u2		u

y'		1
	=
y		u

u' = q(x)u²+p(x)u+1

	y
y' =
	u

I mamy układ równań z których jedno jest równaniem Riccatiego a drugie równaniem o rozdzielonych zmiennych

Mariusz: "Jeszcze pytanie odnośnie metody ze sprowadzeniem do równania bernoulliego, co to z?" z to nowa zmienna zależna (zależna od x) Jak chcesz to możesz ją sobie nazwać inaczej

	1
a podstawienie w =		+z , sprowadzające to równanie do równania Bernoulliego
	x

to jeden ze sposobów na równanie Riccatiego jako że równanie Bernoulliego można całkować tymi samymi metodami Metoda uzmienniania stałej dla równania Bernoulliego się nie różni od metody uzmienniania stałej dla niejednorodnego równania liniowego ale czynnik całkujący w przypadku równania Bernoulliego jest o rozdzielonych zmiennych Dla równania Bernoulliego postaci y'+p(x)y=q(x)y^r czynnik całkujący jest postaci μ(x,y)=exp((1−r)∫p(x)dx)y^−r

Julekcaesar: Powiem tak, zastanawiam się czy to równanie w ogóle powinno być w tym zadaniu. Z całą resztą w ogóle nie było problemu. Nawet nie wiem co to równanie riccatiego. Układów równań też nie było i nie będzie. Jedynie mnie zastanawia, że w skrypcie wykładu jest mowa o podstawieniu ale może przekopiowane było z wydziału matematyki, raz się już zdarzyło. .

Mariusz: A podstawienie obniżające rząd równania mieliście ? Tak by było najłatwiej to równanie rozwiązać Równanie Riccatiego jest to równanie postaci y'=p(x)y²+q(x)y+r(x) Można je sprowadzić do postaci kanonicznej , wtedy będzie ono wyglądać tak y'=±y²+R(x) Gdy mamy daną całkę szczególną lub gdy całkę szczególną łatwo znaleźć to możemy to równanie rozwiązać sprowadzając je do równania Bernoulliego bądź liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu Załóżmy że y₁ spełnia nasze równanie Riccatiego mamy więc y₁'=p(x)y₁²+q(x)y₁+r(x) y'=p(x)y²+q(x)y+r(x) Odejmijmy stronami pierwsze równanie od drugiego y'−y₁'=p(x)y²−p(x)y₁²+q(x)y−q(x)y₁+r(x)−r(x) y'−y₁'=p(x)(y²−y₁²)+q(x)(y−y₁) y'−y₁'=p(x)(y−y₁)(y+y₁)+q(x)(y−y₁) y'−y₁'=p(x)(y−y₁)((y−y₁)+2y₁)+q(x)(y−y₁) y'−y₁'=p(x)(y−y₁)²+2p(x)y₁(y−y₁)+q(x)(y−y₁) y'−y₁'=(2p(x)y₁+q(x))(y−y₁)+p(x)(y−y₁)² Niech u=y−y₁ mamy wówczas u'=(2p(x)y₁+q(x))u+p(x)u² u'−(2p(x)y₁+q(x))u=p(x)u² a to jest już równaniem Bernoulliego Jeżeli równanie Riccatiego jest postaci y'=ay²+bx^r gdzie a , b oraz r są stałe to takie równanie jest nazywane specjalnym równaniem Riccatiego i przy pewnym warunku na r istnieją podstawienia sprowadzające to równanie do jednego z równań które łatwiej się całkuje Gdy nie będziesz miał danej całki szczególnej albo będzie ją trudno zgadnąć to takie równanie może być trudne do rozwiązania W takim przypadku sprowadza się je do równania liniowego drugiego rzędu i sprawdza się czy w tym równaniu całka szczególna nie jest łatwiejsza do odgadnięcia Jeśli nie jest to zostaje wtedy całkowanie szeregiem potęgowym czy metoda Frobeniusa która jest z tym całkowaniem szeregiem potęgowym związana

Julekcaesar: Tak wygląda całe polecenie. W pierwszym podpuncie (to jest drugi) nie miałem problemu żeby rozwiązać czyste równanie. Ale widzę, że chyba te warunki dodatkowe są tutaj potrzebne. Sprawdzić, która z podanych par tworzy układ fundamentalny na zadanym przedziale. Znaleźć rozwiązania tych równań z zadanymi warunkami początkowymi y₁(x) = ln x, y₍x) = x, (0, e), x2(1−ln(x))y''+xy'−y=0

Julekcaesar: Właśnie mi jedna osoba podesłała jak to zrobić... Cały dzień wyważałem taranem otwarte drzwi.

Mariusz: Wydaje mi się że trzeba tutaj sprawdzić czy podane całki szczególne spełniają równanie wstawiając je do równania i pokazać wrońskianem że są te całki szczególne są niezależne