granica ciągu geometrycznego mariusz: oblicz granicę ciągu (an) an= (1 + 2 + 4 + ...... + 2ⁿ) / −2ⁿ no i licze to tak podstawiam licznik jako sume ciągu geometrycznego Sn = 1 * (1−2ⁿ) / (1−2) =(1−2ⁿ) / −1 = 2ⁿ −1 i podstawiam do wzoru lim = (2ⁿ − 1) / −2ⁿ = −1 + 1/(2ⁿ) = −1 n do nieskonczonosci i co tu jest źle ? bo im wychodzi granica −2 i nie mam pojecia co ja tu mam zle

ABC: robisz błąd opisany przez Jarosława Wróblewskiego opiekuna olimpijczyków w jego serii Matematyka dla Myślących jeden z najczęściej spotykanych błędów pociesz się

mariusz: no okej, aa może ktoś powiedzieć czemu to jest źle?

Mila: b₁=1 q=2 b_k=2ⁿ b_k=1*2^k−1 2^k−1=2ⁿ k−1=n k=n+1 − tyle masz wyrazów w sumie

	1−2n+1
an=
	−2n

mariusz: a to czemu podstawiając do tamtego wzoru na sume poczatkowych n wyrazów ciągu geom. z tablic nie wychodzi?

Mila: Przeczytaj uważnie komentarz. Masz n+1 wyrazów początkowych w sumie a nie n.

mariusz: no ale czemu n+1? np jak licze sume 5 wyrazow a1 = 1/32 q =2 to normalnie podstawiam do wzoru s5 = 1/32 * (1−2⁵/1−2) = 31/32 i wyrazow n = 5 i nie dodaje żadnej jedynki to czemu tu jest inna sytuacja

mariusz: bo sam dowód ktory zostal podany z ktorego wynika ze n +1 to suma rozumiem ale on tylko udawadnia prawde a ja nie jestem w stanie tego zrozumiec umyslowo dlaczego akurat tak to dziala

Fałszywy 6-latek: 2⁰, 2¹, 2² − to 3 wyrazy 2⁰,2¹,2²,2³ − to 4 wyrazy jeśli suma zaczyna się od 1 , czyli 2⁰ a kończy się na 2ⁿ to n+1 wyrazów

mariusz: ok chyba rozumiem, a jak by sie nie zaczynało od 1 tylko od innego wyrazu to juz nie n +1?

Mariusz: Liczba wyrazów mogłaby się zmienić gdybyś zaczął indeksować ciąg od innej liczby (choć zwykle ciąg zaczyna się indeksować od zera bądź jedynki Przykładowo przy funkcjach tworzących wygodniej jest indeksować ciąg od zera) lub gdybyś skończył indeksować na innej liczbie Liczba wyrazów ciągu ci się zmieni jeśli weźmiesz sobie mniej wyrazów tego ciągu bądź gdy weźmiesz więcej wyrazów tego ciągu