Równanie z matury z 1960 z Katowic - zagnieżdżone pierwiastki. 40-latek a dalej lubi matmę: Rozwiąż równanie: √x+√x−√x−√x=3/2*√x/(x+√x) Wynik prawidłowy − sprawdzany przez solvery matematyczne równań w sieci − to 25/16. Próbowane metody: podstawienie t=√x, podwójne podnoszenie do kwadratu obustronne, próba uproszczenia lewej strony. Ostatecznie próba podzielenia obu stron przez cały pierwiastek z prawej strony, po skróceniu wyszło x=81/16, co nie jest poprawne, błędny licznik w rozwiązaniu. Jeszcze kombinowanie w taki sposób, że zamiana pod pierwiastkami dodawania i odejmowania przez wyciągnięcie √x przed nawias − na dwa mnożenia. Wszystkie kombinacje zawiodły... Jaką metodą generalnie się zabierać za takie równania?

kotek: x>0

	3
(√x+√x)2−√x2−x=		√x
	2

	3
x+√x−√x*√x−1=		√x
	2

	1
x= √x(√x−1−		) |2
	2

	1
x2=x(x−1+√x−1+		) / :x ≠0
	4

	1
x=x−1+√x−1+
	4

	3
√x−1=		/2
	4

	9
x−1=
	16

	25
x=
	16

=========

kotek: Poprawiam chochlika w trzecim wierszu ma być +1/2

40-latek a dalej lubi matmę: Dzięki kotek

: Mnożę równanie przez √x+√x uzyskując:

	√x
x−√x2−x=
	2

Obustronne podniesienie do kwadratu daje

	5x
2x2−		√x=2x √x2−x
	4

dzielę przez x (które nie należy do dziedziny tego równania) i ponownie podnoszę obie strony do kwadratu

	25
4x2−5x+		=4(x2−x)
	16

	25
a stąd x=
	16

Pozostaje sprawdzić czy uzyskana wartość spełnia pierwotne równanie.

kotek: jeszcze : √x−1 to x>1

40-latek a dalej lubi matmę: Doszedłem też sam (w końcu!) do wyniku w może trochę inny sposób ale skorzystałem z porad powyżej. Dzięki jeszcze raz wszystkim, którzy poświęcili swój czas. Z pewnością wasze rozwiązania pomogły i mi jakoś dojść do prawidłowego wyniku. Polecam też na znanym serwisie z filmikami materiały (jak ktoś zna angielski) jest trochę przykładów rozwiązań równań z zagnieżdżonym pierwiastkami jak te z 1960 roku z matury. Tak do końca nie jest konieczny nawet angielski bo to co, ktoś pisze a mówi po angielsku, jest wykładane w uniwersalnym języku równań matematycznych. Do rozwiązania... W skrócie. Najpierw pomnożyłem obie strony przez mianownik z prawej strony równania − ten x plus pierw. x − pod pierwiastkiem, dzięki temu pierwszy pierwiastek się znosi dzięki podnoszeniu się "samemu" do kwadratu, drugi pod pierwiastkiem trzeba wymnożyć dwa nawiasy − w jednym suma, a w drugim różnica, później po skróceniu wyrazów podobnych i doprowadzeniu do najprostszej postaci, obie strony wymnożone przez 2 tak aby pozbyć się mianownika z prawej strony − dalej tak: 2x+2√x−2√x²−x=3*√x prawa na strona na lewą z przeciwnym znakiem i −√x mamy z sumy podobnych wyrazów, teraz przenosimy te wyrażenie 2xpierwiastek z różnicą x−ów na prawo i możemy obie strony podnieść ponownie do kwadratu, po lewej do kwadrat różnicy a po prawej "znika" pierwiastek. Następnie sumowanie wyrazów podobnych i ostatecznie wychodzi coś takiego... 4x² − 4x√x+x=4x(x−1) (P. str w ten sposób wygląda − jeżeli pod pierwiastkiem z różnicy x−ów wyciągniemy x przed nawias − ale chyba nie jest to konieczne, wszak wyniku nie zmienia). Po obu str. redukuje się 4x² po wymnożeniu nawiasów... Dalej... 4x√x=5x − obie str. równania dzielimy przez x. (4√x)²=5² − obie str. do kwadratu ponownie. 16x=25 x=²⁵₁₆.