matematykaszkolna.pl
równanie różniczkowe Julekcaesar: Rozwiąż równanie różniczkowe 2 rzędu: y''=1−(y')2
1 kwi 18:45
Mariusz: y'(x) = u(x) u'=1−u2
u' 
=1
1−u2 
1 
du=dx
1−u2 
2 
du=2dx
1−u2 
 2 
∫
du=∫2dx
 1−u2 
 (1+u)+(1−u) 
∫
du=2∫dx
 (1+u)(1−u) 
 1 1 
(∫
du+∫
du)=2∫dx
 1−u 1+u 
 1+u 
ln|
|=2x+K1
 1−u 
 1+u 
|
|=eK1e2x
 1−u 
1+u 
=±eK1e2x
1−u 
1+u 
=K2e2x
1−u 
−1+u+2 
=K2e2x
1−u 
 2 
−1+
=K2e2x
 1−u 
2 
=1+K2e2x
1−u 
1−u 1 
=
2 1+K2e2x 
 2 
1−u=
 1+K2e2x 
 2 
u=1−
 1+K2e2x 
 2 
u=1−
 1+C1e2x 
 2 
y'=1−
 1+C1e2x 
 2 
dy=(1−
)dx
 1+C1e2x 
 2 
∫dy=∫(1−
)dx
 1+C1e2x 
 1 
∫dy=∫dx − 2∫
dx
 1+C1e2x 
 1 
y= x − 2∫
dx
 1+C1e2x 
 1 
∫
dx
 1+C1e2x 
1+C1e2x=t 2C1e2xdx=dt 2(t−1)dx=dt
 1 
dx=
dt
 2(t−1) 
1 1 1 t−(t−1) 
∫
dt=
∫
dt
2 t(t−1) 2 t(t−1) 
1 1 1 1 1 
∫
dt=
(∫
dt−∫
dt)
2 t(t−1) 2 t−1 t 
 1 t−1 
=
ln|
|
 2 t 
 1+C1e2x 
y=x+ln|
|+C3
 C1e2x 
 1+C1e2x 
y=x+ln|
|−ln|C1|+C3
 e2x 
y=x+ln|1+C1e2x|−2x+C2 y=ln|1+C1e2x| − x + C2
2 kwi 04:39
Julekcaesar: Mi wyszedł tu wynik ln|e(2x) −c1|−x+c2. Jest on również poprawny?
2 kwi 17:10
Mariusz: Wygląda na to że różni się on tylko o stałą więc powinien być poprawny i tak też jest
3 kwi 00:31
Julekcaesar: Dzięki
3 kwi 16:19