Dowody - nierówności majcia: Proszę o pomoc z udowodnieniem tych nierówności: (a) cos x > 1 − ¹₂ x² dla każdego x > 0; (b) e^x > 1 + x + ¹₂ x² dla każdego x >0; (c) e^x > 1 + x dla każdego x < 0; (d) ln(1+x) ≤ x dla każdego x≥ 0; (e) |arctgx − arctgy| ≤ ¹₅ |x−y| dla wszystkich x,y ∊ (2,∞)

janek191: Rozwiń funkcje w szereg potęgowy' Patrz. Analiza Matematyczna w Zadaniach − W. Krysicki z.11.8 z.11.10 s. 235 − 239 Paragraf 11.2

janek191: Tom 1 Jest w pdf.

majcia: a mógłbyś mi pokazać na podpunkcie a), jak to zrobić?

jc: cos x ≤ 1 x ≥ 0 sin x = ∫₀^x cos t dt ≤ x 1 − cos x = ∫₀^x sin t dt ≤ ∫₀^x t dt = x²/2 cos x ≥ 1 − x²/2

majcia: A czy da się to rozwiązać bez używania całek (jeszcze ich nie mieliśmy)?

I'm back: A co mieliście?

majcia: analize matematyczną 1, czyli różniczkowalność funkcji, ciągłość funkcji i ciągi

jc: A taki dowód może być? x >0, sin x < x (znany rysunek: pole trójkąta < pole wycinka koła) cos x = 1 − 2 (sin x/2)² − 1 > 1 − x² /2

majcia: Ok, a jak z tym b? Próbowałam coś pokombinować z deltą, ale wychodzi ujemna

majcia: .

jc: h(x)=e^x−x−1 > 0 dla x > 0. h' (x) = e^x − 1 > 0, dlatego h jest funkcją rosnącą dla x ≥ 0 , a ponieważ h(0) = 0, więc dla x>0, h(x) > 0. f(x) = e^x − 1 − x − x²/2 f ' (x) = e^x − 1 − x > 0 dla x>0, dlatego f jest funkcją rosnącą dla x ≥ 0, a ponieważ f(0) = 0, więc f(x) > 0 dla x>0, co oznacza, że e^x > 1+x+x²/2 dla x>0.