zbieżność całki damn_ik: Zbadać zbieżność całki niewłaściwej pierwszego rodzaju

	1
∫ sin2(		) dx od 1 do∞
	x

korzystając z kryterium ilorazowego.

chichi: Nie będę przepisywał granic, bo to problematyczne.

	1		1
∫sin2(		)dx no i weźmy całkę ∫		dx, wówczas:
	x		x2

	f(x)		1   sin2( )   x
lim		= lim		=
	g(x)		1     x2

x→+∞ x→+∞

	1   sin( )   x		1   sin( )   x
= lim		* lim		= 1
	1     x		1     x

x→+∞ x→+∞ No, zatem obie całki są...?

jc: Dodam, że ∫₀^∞ (sin 1/x)² dx = π/2

Mariusz:

	1
∫1∞sin2(		)dx
	x

	1
t =
	x

	1
dt = −		dx
	x2

dt=−t²dx

	1
dx=−		dt
	t2

	1
∫10sin2(t)(−		)dt=
	t2

	sin2(t)		sin(t)
∫01		dt=−(sin2(1)−limt→0sin(t)limt→0		)
	t2		t

	−1
−∫01		(2sin(t)cos(t))dt
	t

	sin2(t)		sin(2t)
∫01		dt=−sin2(1)+∫01		dt
	t2		t

	sin(2t)
∫01		dt
	t

u=2t du=2dt

	1
dt=		du
	2

	sin(2t)		sin(u)	1
2∫01		dt=2∫02			du
	2t		u	2

	sin(2t)		sin(u)
2∫01		dt=∫02		du
	2t		u

	1
∫1∞sin2(		)dx=−sin2(1)+Si(2)−Si(0)
	x

	sin(t)
Si(0)=∫00		dt = 0
	t

	1
∫1∞sin2(		)dx=−sin2(1)+Si(2)
	x

Mariusz:

	1
Jeżeli chodzi o całkę ∫0∞sin2(		)dx
	x

można policzyć całkując przez części biorąc

	1
du = dx , v = sin2(		)
	x

	1		1		1
u = x , dv = −2sin(		)cos(		)		dx
	x		x		x2

	1
du = dx , v = sin2(		)
	x

	2   sin( )   x
u = x , dv = −		dx
	x2

	1		1		2   sin( )   x
limx→∞x sin2(		) − limx→0+x sin2(		) − ∫0∞−x		dx
	x		x		x2

	2   sin( )   x
=∫0∞		dx
	x

	2
t =
	x

1		x
	=
t		2

	2
x=
	t

	2
dx=−		dt
	t2

	sin(t)		2
∫∞0		(−		) dt
	2   t		t2

	sin(t)		2
∫0∞		(		) dt
	2   t		t2

	t2   sin(t)   2		2
∫0∞		(		) dt
	2   t2   * t   2		t2

	sin(t)
∫0∞		dt
	t

	sin(t)
A czy ta całka nie przypomina wam przekształcenia Laplace L(		) dla s=0
	t

To daje nam pomysł np na różniczkowanie pod znakiem całki

chichi: @Mariusz można sobie robić na różne sposoby, ale jeśli polecenie narzuca nam metodę to się jej stosujemy, tak jak mamy 3 główne metody rozwiązywania równania różniczkowego liniowego, a polecenie nam narzuca metodę, to nie rozwiązujemy dowolną inną, tylko tą, którą każą

Mariusz: No to ty pokazałeś ten sposób który chcieli Tutaj mieliśmy całkę zbieżną więc pokazałem jak ją policzyć Problemem może być to że wynik jest wyrażony za pomocą całki nieelementarnej Jesteście teraz przy równaniach liniowych ? Jeden sposób to uzmiennianie stałej, drugi to czynnik całkujący a ten trzeci to jaki wam pokazali

chichi: Tak jesteśmy na liniowych, 3−cia to metoda przewidywań. Dzisiaj były równania Bernoulliego

Mariusz: Tylko ta metoda przewidywań nie jest ogólna i przedstawiają ją w taki sposób że wymaga to dużo zapamiętywania Równanie Bernoulliego można rozwiązywać przez sprowadzenie do równania liniowego choć działają na nie te same metody co na równanie liniowe i można od razu nimi rozwiązywać bez bawienia się w sprowadzanie do równania liniowego

chichi: W równaniach Bernoulliego jest ogólne podstawienie. Jeśli chodzi o metodę przewidywań nie trzeba dużo zapamiętywać, wystarczy wiedzieć co nieco

Mariusz: Masz równanie y'+P(x)y=Q(x)y^r , r ∊ ℛ Przypadki szczególne dla: r=0 : równanie liniowe niejednorodne r=1 : równanie liniowe jednorodne, równanie o rozdzielonych zmiennych Na równaniu y'+P(x)y=Q(x)y^r , r ∊ ℛ wypróbuj sobie uzmiennienie stałych Jeżeli chodzi o czynnik całkujący dla równania Bernoulliego to wychodząc z równania y'+P(x)y=Q(x)y^r pomnóż je sobie przez nieznaną funkcję μ(x,y) przy czym możesz założyć że μ(x,y)=f(x)g(y) i porównujesz lewą stronę równania μ(x,y)y'+μ(x,y)P(x)y=μ(x,y)Q(x)y^r ze wzorem na pochodną iloczynu i stąd wyznaczasz sobie funkcję μ(x,y)

Mariusz: Wkrótce będziecie mieli równanie Riccatiego i to jest pierwszy z tych fajniejszych typów równania różniczkowego choć wy pewnie będziecie wałkować tylko przypadek gdy całka szczególna będzie dana

chichi: Dosyć poważnie zajmujemy się tymi równaniami więc nie byłbym tego taki pewien, ostatnio pojawiały się jakieś zadania z treścią z fizykii, geometrii oraz nawet probabilistyki, ale takiej na poziomie studiów. Fajne rzeczy

Mariusz: Pokazali wam czynnik całkujący dla równania Bernoulliego czy tylko podstawienie sprowadzające równanie Bernoulliego do liniowego ? Ja kiedyś go wyprowadziłem na innym forum matematycznym Tutaj myślałem że da się go łatwo wyprowadzić bez korzystania z równania zupełnego ale to chyba nie zadziała Pamiętasz twierdzenie Schwarza

δF		δF
	=
δxδy		δyδx

Załóżmy że mamy równanie postaci P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 wtedy możemy przyjąć że

	δF
P(x,y)=
	δx

	δF
Q(x,y)=
	δy

wtedy z twierdzenia Schwarza otrzymujemy warunek na równanie zupełne

δP		δQ
	=
δy		δx

Jeżeli dla równania P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

	δP		δQ
warunek		=		jest spełniony to
	δy		δx

wystarczy rozwiązać następujący układ równań

δF
	=P(x,y)
δx

δF
	=Q(x,y)
δy

Po rozwiązaniu powyższego układu równań możemy napisać że rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej jest F(x,y)=C

	δP		δQ
Teraz jeżeli		≠
	δy		δx

to sprawdzamy czy ten warunek będzie zachodził gdy pomnożymy równanie przez pewną funkcję zwaną czynnikiem całkującym i sprawdzamy warunek

δμP		δμQ
	=
δy		δx

W przypadku równania Bernoulliego mamy tzw czynnik o rozdzielonych zmiennych μ(x,y)=φ(x)ψ(y) y'+P(x)y=Q(x)y^r y' + P(x)y−Q(x)y^r=0 (P(x)y−Q(x)y^r)dx+dy=0 P(x,y)=(P(x)y−Q(x)y^r) Q(x,y)=1 Tutaj akurat wystąpiła kolizja oznaczeń ale myślę że wiadomo o co chodzi

chichi: Póki co pokazywano podstawienie sprowadzające równanie Bernoulliego do liniowego Dziś pierwsze ćwiczenia z dowodem dla tego wyżej wspomnianego.