Pomoc z dwoma zadaniami [planimetria] Maciek: Witam, Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań, które nie dają mi spokoju. 1. Na trójkącie równoramiennym o ramieniu √18 opisano okrąg o promieniu 3. Oblicz długość podstawy tego trójkąta. Próbowałem korzystać z: − twierdzenia cosinusów, − wzoru na R aby wyliczyć miarę jednego z kątów i wyszło 45 stopni, − układu równań − twierdzenie Pitagorasa z dwóch trójkątów. Długość jednego z boków 'dodatkowego' trójkąta wyniosła zero. Zazwyczaj jest dana podstawa w takich zadaniach i wówczas z obliczeniem czegokolwiek nie ma problemu. 2. Oblicz pole trójkąta ABC, gdy |AB|=2, |BC|=2√3, kąt ACB=30 stopni. Korzystałem z twierdzenia cosinusów, doprowadziłem do równania kwadratowego, z którego wyszła 'normalna' delta ale długość trzeciego boku wyniosła 2 lub 4. Z góry dzięki!

wredulus_pospolitus: (1) to pokaż jak próbowałeś PS. skoro wyszło Ci, że jeden z kątów (przy podstawie) wynosi 45^o to już jest de facto koniec zadania −−− stąd znasz kąty ... widzisz jaki to trójkąt ... wiesz ile wynosi podstawa

wredulus_pospolitus: (1) metoda 1 z tw. cosinusów: a² = R² + R² − 2R²*cosα , podstawiamy: (√18)² = 3² + 3² − 2*3²*cosα 18 = 18 − 18cosα 18cosα = 0 −−−> α = 90^o stąd: β = 360^o − 2*α = 180^o ergo ... środek okręgu leży na podstawie (w połowie podstawy) ... więc mamy trójkąt prostokątny ... podstawa równa 2R = 6

wredulus_pospolitus: (1) metoda 2

	a		√2
R =		−−−> sinγ =		−−−> γ = 45o
	sinγ		2

kąt przy podstawie wynosi 45^o −−−> kąt przy wierzchołku = 90^o (mamy trójkąt prostokątny) x = 2R = 6

wredulus_pospolitus: (1) metoda 3

	x
R =		; x2 = a2 + a2 − 2a2*cosγ
	2sinγ

x = 2Rsinγ ; x² = 2a²(1 − cosγ) 4R²sin²γ = 2a²(1−cosγ)

4*9		1−cosγ
	=
2*18		sin2γ

	1−cosγ
1 =
	1−cos2γ

	1
1 =		−−−> 1 + cosγ = 1 −−−> cosγ = 0 −−−> γ = 90o
	1+cosγ

kąt przy wierzchołku kątem prostym, trójkąt prostokątny −−−> x = 2R = 6

wredulus_pospolitus: Ostatnia metoda niepotrzebnie 'trudna' w porównaniu z poprzednimi

Mila: I ) ΔABC− 1)ΔCDB− Δekierkowy :90^o, 60^o,30^o h=√3 |DC|=3 2) W ΔADB: x²+h²=2²⇔x²+3=4 x=1 |AC|=4 3)

	4*√3
PΔ=		=2√3
	2

W drugim przypadku masz Δrozwartokątny równoramienny o kącie 120^o między ramionami o dł. 2.