Oblicz prawdopodobieństwo w "k" tym rzucie. Gr4vity: Piszę tutaj bo na dwóch forach nie udało znaleźć mi się odpowiedzi Dwie kości zostały rzucone "k" razy, znajdź prawdopodobieństwo, że każda z sześciu kombinacji (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) pojawi się co najmniej raz. Znalazłem taką odpowiedź (i rzeczywiście jest ona poprawna), natomiast kompletnie jej nie rozumiem, i nie mogę ogarnąć jaki tok rozumowania za nią stoi:

	6 0
|A|=		*36k

	6 1		6 2		6 3		6 4		6 5		6 6
−		*35k+		*34k−		*33k+		*32k−		*31k+		*30k

|Ω|=36^k

wredulus_pospolitus: wyjaśnienie: 1) 36^k <−−− tyle mamy wszystkich możliwości (w tym także tych nie spełniających warunki zadania) odejmujemy więc od tego

	6 1
2a)		wybieramy jedną z sześciu podwójnych kombinacji której NIE WYLOSUJEMY

2b) 35^k <−−− losujemy z każdej z pozostałych 35 kombinacji dokładnie 'k' razy ale to nie koniec −−− bo odejmując w (2) odjęliśmy także sytuacje gdy np. zestaw (1,1) i (2,2) nie występuje ani razu, mało tego −−− odejmujemy takie zestaw parokrotnie dlatego musimy teraz dodać:

	6 2
3a)		−−− wybieramy dwie z sześciu podwójnych kombinacji której NIE LOSUJEMY

3b) 34^k <−−− losujemy z każdej z pozostałych 34 kombinacji dokładnie 'k' razy tym razem jednam za dużo dodaliśmy sytuacji gdy niewylosowane zostały np. (1,1) , (2,2) , (3,3) więc musimy odjąć itd. Metoda włączeń i wyłączeń się kłania −−− winno to być w szkole średniej

Gr4vity: Jest to dla mnie w dalszym ciągu niezrozumiałe. W pierwszym kroku odejmuje możliwości w których nie ma jednej z kombinacji np (1,1) albo (2,2) albo (3,3) ... Odejmuje ich za dużo bo przykładowo 5 razy odjąłem taką sytuacje: (2,2),(2,2),(2,2),(2,2),(2,2)... Ale dlaczego mam dodać akurat 6 po 2? Dlaczego za dużo dodaliśmy sytuacji gdy niewylosowane zostały np. (1,1), (2,2), (3,3) ?

Gr4vity: Szczerze mówiąc zadając tu pytanie liczyłem na jakieś sensowne wyjaśnienie, a nie ślepe przepisanie tego o co pytam...

Min. Edukacji: Moze poczytaj cos zamiast tylko kopiuj wklej tutaj, co Do roboty

wredulus_pospolitus: 'ślepe przepisanie' powiadasz ... interesujące 1) I jesteś w błędzie myśląc, że: "Odejmuje ich za dużo bo przykładowo 5 razy odjąłem taką sytuacje: (2,2),(2,2),(2,2),(2,2),(2,2)..." Nic bardziej mylnego Więc jeszcze raz napiszę (mam nadzieję, że bardziej "łopatologicznie" będzie) a) 36 <−−− tyle mamy kombinacji wylosowania rzucając dwoma (rozróżnialnymi) kostkami stąd 36^k oznacza wszystkie możliwe możliwości przy k rzutach dwoma kostkami b) chcemy odjąć od tego sytuacje gdy co najmniej jednego z zestawu zdublowanych cyfr nie było we wszystkich próbach

	6 1
dlatego na początku 'wybieramy' który zestaw ma nie zostać wylosowany, co czynimy na		=

6 sposobów następnie rzucamy k razy, za każdym razem może wypaść którakolwiek z 35 możliwości (czyli każda poza tą jedną którą 'wybraliśmy' zawczasu)

	6 1
stąd mamy −		*35k.

Jednak taka operacja powoduje, że odjęliśmy za dużo możliwości, ponieważ − dwukrotnie odjęliśmy sekwencję: (1,1) , (2,2) , (2,1) , (3,5) , ...., ponieważ: raz 'wybraliśmy że (1,1) ma nie być wylosowane, a (2,2) 'po prostu' się nie wylosowało (1,1) , (2,2) , (2,1) , (3,5) , .... raz 'wybraliśmy że (2,2) ma nie być wylosowane, a (1,1) 'po prostu' się nie wylosowało (1,1) , (2,2) , (2,1) , (3,5) , ....

	6 1
A przecież to jedna i ta sama sytuacja (a my licząc		35k liczymy ją dwukrotnie)

− trzy krotnie odjęliśmy sekwencję (1,1) , (2,2) , (3,3) , (3,5) , .... analogiczne rozumowanie − i tak dalej c) dlatego musimy skorygować swój wynik i DODAĆ to co za dużo odjęliśmy, dlatego zliczamy sytuacje gdzie co najmniej dwa różne duble nie zostaną wylosowane:

	6 2
więc wybieramy dwa różne duble na		które mają NIE ZOSTAĆ wylosowane, a pozostałe

	6 2
możliwości są dostępne, stąd mamy +		*34k

Jednak taka operacja powoduje, że dodaliśmy za dużo możliwości, ponieważ: − trzy krotnie dodaliśmy sekwencję (1,1) , (2,2) , (3,3) , (3,5) , .... − i tak dalej d) związku z tym musimy znowu skorygować swój wynik i ODJĄĆ to co za dużo dodaliśmy, dlatego zliczamy sytuacje gdzie co najmniej trzy różne duble nie zostaną wylosowane:

	6 3
więc wybieramy trzy różne duble na		które mają NIE ZOSTAĆ wylosowane, a pozostałe

	6 3
możliwości są dostępne, stąd mamy −		*33k

Jednak taka operacja powoduje, że odjęliśmy za dużo .... widzisz już jak wygląda 'rytuał' (nie mam ochoty rozpisywać całej reszty).

wredulus_pospolitus: A teraz jeszcze jako 'bonus' rozpiszę Ci, że metodą włączeń i wyłączeń ostatecznie dobrze odejmujemy: a) dokładnie jeden dubel nie występuje:

	6 1
− jeden raz w sekwencji:		*35k

b) dokładnie dwa duble nie występują:

	6 1
− dwa razy w sekwencji:		*35k

	6 2
+ raz w sekwencji:		*34k

c) dokładnie trzy duble nie występują:

	6 1
− trzy razy w sekwencji:		*35k

	6 2
+ trzy razy w sekwencji:		*34k

	6 3
− jeden raz w sekwencji:		*33k

d) dokładnie cztery duble nie występują:

	6 1
− cztery razy w sekwencji:		*35k

	6 2
+ sześć razy w sekwencji:		*34k

	6 3
− cztery raz w sekwencji:		*33k

	6 4
+ raz w sekwencji:		*32k

e) dokładnie pięć dubli nie występują:

	6 1
− pięć razy w sekwencji:		*35k

	6 2
+ dziesięć razy w sekwencji:		*34k

	6 3
− dziesięć raz w sekwencji:		*33k

	6 4
+ pięć razy w sekwencji:		*32k

	6 5
− raz w sekwencji:		*31k

f) dokładnie sześć dubli nie występują:

	6 1
− sześć razy w sekwencji:		*35k

	6 2
+ piętnaście razy w sekwencji:		*34k

	6 3
− dwadzieścia raz w sekwencji:		*33k

	6 4
+ piętnaście razy w sekwencji:		*32k

	6 5
− sześć w sekwencji:		*31k

	6 6
+ raz w sekwencji:		*30k

Jak widzisz −−− koniec końców ... w każdym tych przypadków odejmujemy odpowiednią liczbę razy.

Gr4vity: Dziękuję bardzo