Korzystając z definicji eksponenty w postaci nieskończonej sumy, proszę pokazać, Giant: Korzystając z definicji eksponenty w postaci nieskończonej sumy, proszę pokazać, że jeżeli φ jest liczbą rzeczywistą to e^iφ= cos(φ) + isin(φ) nie potrafię się za to zadanie zabrać, mógłby ktoś wyjaśnić co i jak należy zrobić ?

chichi: No to po rozwinięciu w szeregi Maclaurina, mamy: ∞

	x3		x5		x7		(−1)n
(1) sin(x) = x −		+		−		+ ... = ∑		x2n+1
	3!		5!		7!		(2n+1)!

n=0 ∞

	x2		x4		x6		(−1)n
(2) cos(x) = 1 −		+		−		+ ... = ∑		x2n
	2!		4!		6!		(2n)!

n=0 ∞

	x2		x3		xn
(3) ex = 1 + x +		+		+ ... = ∑
	2!		3!		n!

n=0 Kładąc x = iφ do (3) mamy:

	(iφ)2		(iφ)3		(iφ)4		(iφ)5
eiφ = 1 + iφ +		+		+		+		+ ... =
	2!		3!		4!		5!

	φ2		φ3		φ4		φ5
= 1 + iφ −		+ i		+		+i		+ ... =
	2!		3!		4!		5!

	φ2		φ4		φ3		φ5
= 1 −		+		+ ... + iφ − i		+ i		=
	2!		4!		3!		5!

	φ2		φ4		φ3		φ5
= (1 −		+		− ...) + i(φ −		+		− ...) =
	2!		4!		3!		5!

= cos(φ) + isin(φ) □