Zrozumienie pochodnej Monika04: Witam, pochodna funkcji f(x) = x² jest równa f`(x) = 2x. I teraz moje pytanie: Co oznacza 2x? Co mówi mi wykres pochodnej? Narysowałam sobie wykres funkcji kwadratowej f(x) = x<sup>2</sup>, jak również funkcję liniową pochodnej. Na początku myślałam, że pochodna daje nam do zrozumienia o ile zmienia się wartość funkcji np. pochodna f`(1) = 2, f`(2) = 4. Ale byłam totalnie w błędzie, ponieważ f(1) = 1, f(2) = 4, a więc nie zmienia się o wartość pochodnej. Totalnie nie potrafię sobie tego wyprowadzić w głowie.

wredulus_pospolitus: Wartość pochodnej w punkcie x₀ mówi nam o tym pod jakim kątem jest styczna do wykresu f(x) w tym że właśnie punkcie (a konkretniej tanges tego kąta jest równy wartości pochodnej w tymże punkcie). W efekcie dostajemy informację (nie wprost co prawda) 'jak szybko rośnie/maleje' funkcja f(x) w otoczeniu punktu x_o Więc dobrze kombinowałaś, tylko pochodna nie daje nam informacji o wzroście funkcji na 'dużym' przedziale jak pomiędzy x=1 a x=2 ... bo ta pochodna 'po drodze' się zmienia (w tym przypadku się zwiększa z początkowego f'(1) = 2 do ostatecznie f'(2) = 4) co przekłada się na to, że funkcja f(x) zaczyna szybciej rosnąć ... dlatego f(2) ≠ 3 tylko f(x) = 4 > 3

Monika04: @wredulus_pospolitus nie rozumiem tego ostatniego "dlatego f(2) ≠ 3 tylko f(x) = 4 > 3" : /

wredulus_pospolitus: f'(1) = 2 prawda prawda ... więc można się spodziewać, że skoro f(1) = 1 to f(2) = 1+2 = 3 (przyrost o 2 jednostki przy zwiększeniu x o 1 jednostkę) ale f'(x) = 2x <−−− jest to funkcja której wartość rośnie wraz ze wzrostem 'x' f'(1) = 2 ale już f'(1.25) = 2.5 ; f'(1.5) = 3 ; f'(1.75) = 3.5 co oznacza, że funkcja f(x) na przedziale x∊(1,2) będzie 'coraz szybciej rosnąć' związku z tym, przyrost wartość pomiędzy f(1) a f(2) będzie większa od 2 jednostek (które by wychodziły z wartości f'(1) = 2) nie wiem czy to Ci to jakoś rozjaśniło

Monika04: tak, rozjaśniło, dziękuję