Oblicz całkę nieoznaczoną Basia:

	dx
Hej, mam do obliczenia taką całkę: ∫		, i mój problem jest taki, że nie
	sin2x*cosx

potrafię tak przekształcić mianownika by dojść do miejsca gdy mogłabym już podstawiać, czy umiałby mi ktoś pomóc?

Mariusz: W liczniku jedynka trygonometryczna

Basia: I wtedy powstanie (1−cos²x)cosx i co potem z tym zrobić bo właśnie w tym miejscu błądzę w kółku

wredulus_pospolitus:

	dx
@Mariusz −−− trochę zakopiesz się licząc ∫
	cosx

nie mówię, że się nie da ... tyle że trochę trzeba się z tym pobawić i chyba jest jakaś łatwiejsza droga

wredulus_pospolitus: @Basiu ... w liczniku

Basia: @wredulus_pospolitus pokazałbyś tą łatwiejszą drogę?

Basia: A rozumiem, spróbuje obliczyć

Basia:

	cosx		1
A i wtedy sprowadza się do obliczenia ∫		dx+∫		dx co jest już łatwe do
	sinx		cosx

obliczenia dziękuje za pomoc

wredulus_pospolitus: Mariusz poleca tak:

	dx		sin2x + cos2x		dx		cosx
∫		= ∫		dx = ∫		+ ∫		dx
	sin2xcosx		sin2xcosx		cosx		sin2x

druga całka przez podstawienie t=sinx staje się banalnie prosta do policzenia pierwsza natomiast już tak prosta do policzenia nie będzie

wredulus_pospolitus: @Basiu −−− jakbym widział (na teraz) prostszą drogę, to bym ją podał ... nigdy nie byłem dobry w całkowaniu funkcji trygonometrycznych ... a obecnie to już w ogóle tutaj kuleję (nie pamiętam już 'tricków')

Mariusz: Wredulus nie zakopie się aż tak bardzo wzór redukcyjny + wzór na sinus podwojonego kąta i dostaniemy łatwą do policzenia całkę

	π
cos(x) = sin(		+x)
	2

	π		x		π		x
cos(x) = 2sin(		+		)cos(		+		)
	4		2		4		2

	π		x		π		x
cos(x) = 2tg(		+		)cos2(		+		)
	4		2		4		2

Basia: Ahhhhh te całki chciałabym mieć już to za sobą

Mariusz:

	1
Wredulus ty całkę ∫		dx
	cosx

chciałeś liczyć w następujący sposób

	1		cosx
∫		dx = ∫		dx
	cosx		cos2x

	1		cosx
∫		dx = ∫		dx
	cosx		1−sin2x

	1		cosx
∫		dx = ∫		dx
	cosx		(1−sinx)(1+sinx)

wredulus_pospolitus: @Basia ... wejdą RR'y (równania różniczkowe) to będziesz tęsknić za całkami @Mariusz ... szczerze to nie miałem jakieś planu ... po prostu czuję przez skórę że trochę zabawy tutaj jest, ale mogę się mylić

Mariusz:

	1
Chyba najszybszy pomysł na całkę ∫		dx
	cosx

podałem we wpisie z 5 mar 2022 21:40

	1		1
∫		dx=∫		dx
	cos(x)		π   sin( +x)   2

	1		1
∫		dx=∫		dx
	cos(x)		π   x   π   x   2sin( + )cos( + )   4   2   4   2

	1		1
∫		dx=∫		dx
	cos(x)		π   x   π   x   2tg( + )cos2( + )   4   2   4   2

i przy tym ostatnim przejściu trzeba założyć że nie dzielimy przez zero

	π		x
Teraz witać że podstawienie t=tg(		+		)
	4		2

da banalnie prostą do policzenia całkę

jc: Podstawieni s=sin x daje

	ds		1		1
∫		= −		+		[ln(1+s) − ln(1−s)]
	s2(1−s2)		s		2

1		1		1		1		1		1		1
	=		+		=		+		(		+		)
s2(1−s2)		s2		1−s2		s2		2		1−s		1+s