równanie różniczkowe Julek45: Rozwiązać równania jednorodne z warunkiem początkowym: (y−2x)(dy/dx)=2y+x, y(0)=0

wredulus_pospolitus: a to już się Mariusz będzie w to bawił

Julek45: Jaki Mariusz?

mariusz: ja nie umiem

Mariusz: Jak jednorodne to podstawienie y = ux powinno sprowadzić to równanie do równania o rozdzielonych zmiennych (ux−2x)(u'x+u)=2ux+x x(u−2)(u'x+u)=x(2u+1) , x≠0 (u−2)(u'x+u)=(2u+1) (u−2)u'x+(u−2)u=(2u+1) (u−2)u'x=2u+1−u²+2u (u−2)u'x=−(u²−4u−1)

u−2		1
	u'=−
u2−4u−1		x

u−2		1
	du=−		dx
u2−4u−1		x

2u−4		2
	du=−		dx
u2−4u−1		x

ln|u²−4u−1|=−2ln|x|+C₁ ln|u²−4u−1|+ln|x²|=C₁ ln|u²x²−4ux²−x²|=C₁ ln|y²−4yx−x²|=C₁ |y²−4yx−x²| = e^C₁ y²−4yx−x² = ±e^C₁ y²−4yx−x² = C₂ 0 = C₂ y²−4yx−x² = 0 Jeżeli chcesz mieć y w postaci jawnej to rozwiązujesz równanie kwadratowe

kerajs: ''Jeżeli chcesz mieć y w postaci jawnej to rozwiązujesz równanie kwadratowe'' Ciut uwikłana będzie ta ''jawna'' postać.

Julek45: Mógłbyś wytłumaczyć mi jak po zastosowaniu podstawienia y' zmieniło się w u'x+x?

Julek45: *u'x+u

Julek45: Konkretnie nie rozumiem dlaczego jak się obustronnie zrobi różniczkę względem x wyrażenia y=ux to wychodzi dy/dx=u+xdu/dx, a nie dy/dx=du/dx

I'm back: y(x) = u(x) *x y'(x) = Liczysz pochodną po x'sie

I'm back: Podpowiedz dodatkowa: jaki jest wzór na pochodną iloczynu?

Julek45: Aaa bo u to funkcja a nie stała więc trzeba użyć wzór na pochodną iloczynu funkcji. Dzięki Mariusz za rozpisanie tego, oszczędziłeś mi kilka godzin roboty.

I'm back: Julek − gdyby u było stała to przecież miałbyś y' = u a nie y' = u'

Mariusz: Teraz masz rozwiązanie w postaci uwikłanej i jeżeli chciałbyś sprawdzić

	δF   δx
poprawność rozwiązania to za y' wstawiasz −
	δF   δy

gdzie F(x,y) = y²−4xy−x² Po rozwiązaniu równania kwadratowego dostaniesz dwie funkcje y(x) ale sprawdzając poprawność równania będziesz mógł zróżniczkować y