Dowód zbieżności ciągu pracapopłaca:

	2n
Udowodnij zbieżność ciągu xn =		, a następnie oblicz jego granicę.
	n!

Poproszę o wskazówki, jak dojść do rozwiązania

wredulus_pospolitus:

	xn+1
zauważ, że		< 1 (dla n>2)
	xn

jest to także ciąg ograniczony (łatwo to wykazać wniosek

wredulus_pospolitus: w sumie to dla n>1 zachodzi ta nierówność

pracapopłaca: Zabieram się za myślenie, odpiszę gdy do czegoś dojdę

pracapopłaca: Wypisałem kilka początkowych wyrazów dla ułatwienia obliczeń x₁ = 2 x₂ = 1 x₃ = ⁴₃ ≈ 1,(3) x₄ = ²₃ ≈ 0,(6) x₅ = ⁴₁₅ ≈ 0,2(6)

xn+1		2(n+1)   (n+1)!		2n *2		n!
	=		=		*		=
xn		2n   n!		(n+1)*n!		n+1

	2
=
	n+1

pracapopłaca: Ojoj źle przepisałem, sekundę

pracapopłaca:

2n * 2		n!		2
	*		=
(n+1) * n!		2n		n+1

pracapopłaca: I teraz nie za bardzo wiem co zrobić dalej :\

wredulus_pospolitus:

	4
taka uwaga −−− x2 =		= 2
	2

pracapopłaca: O cholibka, rzeczywiście

wredulus_pospolitus:

	2		2
No i dla n>1 mamy:		<		= 1 ciąg malejący (dla n>1)
	n+1		1+1

teraz wystarczy napisać, że x_n > 0 (ponieważ 2ⁿ > 0 oraz n! > 0) i na podstawie ODPOWIEDNIEGO tw. (ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny) mamy zbiezność kooooniec

pracapopłaca: Oki, dziękuje bardzo za pomoc