równanie. Fifka: Wykaż że rozwiązanie x⁵−x³+x−2=0 należy do przedziału (⁶√3,2).

Powrót z dalekiej podróży: dla x=1 x⁵−x%3+x−2<0 dla x=2 x⁵−x³+x−2>0 Więc rozwiązanie należy do przedzialu (1,2) Metoda kolejnych przybliżeń Teraz ja mam pytanie Czy mółby ktoś pokazać gdzie natepuje w tym wielomianie x⁵−x³+x−2 zmiana znaków (najlepiej podkreślając ) Do określenia ilości ro związan .Mam z tym troche kłopot Dziękuje To nie jest moje zadanie ale taki pomysł mi przyszedł do głowy

Mariusz: Jak chcesz podejrzeć przybliżone rozwiązania a twoim systemem jest Windows to zobacz programik https://pastebin.com/7cLraBVP Nie jest on jeszcze dopracowany bo można by było dać jeszcze lepsze przesunięcie , przyśpieszyć zbieżność dla wielokrotnych pierwiastków, zastosować deflację , dać inny warunek stopu Mimo to jakiś wynik powinien zwrócić

wredulus_pospolitus: @powrót −−− kwestia kolejnych przybliżeń zbyt dobra nie będzie ponieważ rozwiązanie jest 'niebezpiecznie' blisko ⁶√3 ... więc dłuuuugo byśmy musieli przybliżać

Powrót z dalekiej podróży: Dziękuje Mariusz

Powrót z dalekiej podróży: Więc co proponujesz wredulusie?

wredulus_pospolitus: 1) co do liczby rozwiązań, zauważmy że: f(x) = x⁵ − x³ + x − 2

	3		11
f'(x) = 5x4 − 3x2 + 1 = 5(x2 −		)2 +		> 0
	10		20

funkcja f(x) jest rosnąca f(1) < 0 f(2) > 0 czyli będziemy mieli jedno rozwiązanie

Mariusz: x⁵−x³+x−2=0 x³+x²−x−2 x⁵−x³+x−2 : x² − x + 1 −(x⁵−x⁴+x³) x⁴−2x³ −(x⁴ −x³+x²) −x³−x² −(−x³+x²−x) −2x²+2x−2 −(−2x²+2x−2) 0 (x³+x²−x−2)(x² − x + 1)=0

	1		1		1		1
(x+		)3=x3+3		x2+3		x+
	3		3		9		27

	1		1		1
(x+		)3=x3+x2+		x+
	3		3		27

	1		4		1		1		1		4		4
(x+		)3−		(x+		)=(x3+x2+		x+		)−(		x+		)
	3		3		3		3		27		3		9

	1		4		1		11
(x+		)3−		(x+		)=x3+x2−x−
	3		3		3		27

	1		4		1		43
(x+		)3−		(x+		)−		=x3+x2−x−2
	3		3		3		27

	4		43
y3−		y−		=0
	3		27

y=u+v y³=u³+3u²v+3uv²+v³ y³=u³+v³+3uv(u+v) y³=3uvy+(u³+v³)

	4		43
y3=		y+
	3		27

	4
3uv=
	3

	43
u3+v3=
	27

	4
uv=
	9

	43
u3+v3=
	27

	64
u3v3=
	729

	43
u3+v3=
	27

	43		64
t2−		t+		=0
	27		729

	43		1849		64
(t−		)2−		+		=0
	54		2916		729

	43		1849−256
(t−		)2−		=0
	54		2916

	43		1593
(t−		)2−		=0
	54		2916

	43−√1593		43−√1593
(t−		)((t−		))=0
	54		54

	172−4√1593		172+4√1593
(t−		)((t−		))=0
	216		216

	1
y =		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)
	6

	1		1
x+		=		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)
	3		6

	1
x =		(−2+3√172−4√1593+3√172+4√1593)
	6

chichi: @Mariusz to niczego jeszcze nie dowodzi. Ty wyznaczyłeś jakieś rozwiązania, a teraz spójrz na tezę

Mariusz: No ale mając pierwiastek rzeczywisty łatwo pokazać że leży on w zadanym przedziale a to że jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty też można pokazać i to bez pochodnych Poza tym spójrz na to co napisał Powrót z dalekiej podróży: "Czy mółby ktoś pokazać gdzie natepuje w tym wielomianie x⁵−x³+x−2 zmiana znaków (najlepiej podkreślając ) "

chichi: No to pokaż łatwo, że znajduje się on w żądanym przedziale

Mariusz: x³+x²−x−2=0 x³=−x²+x+2 | *x³ x⁶=−x⁵+x⁴+2x³ −x²+2x−1 −x⁵+x⁴+2x³ : x³+x²−x−2 −(−x⁵−x⁴+x³+2x²) 2x⁴+x³−2x² −(2x⁴+2x³−2x²−4x) −x³+4x −(−x³−x²+x+2) x²+3x−2 x⁶=(−x²+2x−1)(x³+x²−x−2)+(x²+3x−2)

	3		9
x2+3x−2=(x+		)2−		−2
	2		4

	3		17
x2+3x−2=(x+		)2−
	2		4

	1		1		3		17
(		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)−		+		)2−
	6		3		2		4

	1		17
(		(3√172−4√1593+3√172+4√1593 + 7)})2−
	6		4

1
	((3√172−4√1593+3√172+4√1593)2+14(3√172−4√1593+3√172+4√1593)
36

	17
+49)−
	4

1
	(3√172−4√1593+3√172+4√1593)2+
36

7
	(3√172−4√1593+3√172+4√1593)+
18

49		17*9
	−
36		4*9

1
	(3√172−4√1593+3√172+4√1593)2+
36

7		26
	(3√172−4√1593+3√172+4√1593)−
18		9

1
	(3√(172−4√1593)2+3√(172+4√1593)2)
36

	1		7		26
+		3√1722−16*1593+		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)−
	18		18		9

1
	(3√(172−4√1593)2+3√(172+4√1593)2)
36

	7
+		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)−2 = 0
	18

1
	(3√1722−16*1593+8*172√1593+32*1593
36

+³√(172²−16*1593−8*172√1593+32*1593)

	7
+		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)−2 = 0
	18

1
	(3√6884+172√1593+3√6884−172√1593)
18

	7
+		(3√172−4√1593+3√172+4√1593)−2 = 0
	18

I teraz pozostaje wymyślić jakieś pasujące nierówności albo skorzystać z pisemnego sposobu obliczania pierwiastków (Dla pierwiastka kwadratowego sposób można znaleźć w niektórych tablicach np Tablice matematyczne wydawnictwa Adamantan pod redakcją Witolda Mizerskiego a jeśli zrozumiesz jak działa wyciąganie pierwiastka kwadratowego to samodzielnie wyprowadzisz sposób pisemny obliczania pierwiastka trzeciego stopnia) Jeżeli chcemy skorzystać z pisemnego sposobu to trzeba oszacować dokładność z jaką będziemy liczyli te pierwiastki

www: https://math.stackexchange.com/questions/814162/find-lfloor-alpha6-rfloor/814169#814169

Powrót z dalekiej podróży: Dzięki wszystkim za ciężką pracę