całki całki:

	(3x+1)
Rozwiąż całkę		dx
	(4x4+4x+1)

czy ktoś może pomóc?

całki: oczywiście ∫ − > zapomniałem dać na początek

f: Zamiast 4x nie powinno być może 4x² ?

f: 4x⁴+4x²+1=(2x²+1)²

3x+1		Ax+B		Dx+E
	=		+
4x4+4x2+1		2x2+1		(2x2+1)2

Mariusz: f ale ty już masz ułamek prosty więc rozkład jest zbędny

fk: Racja Mariusz można użyć podstawienia, dopiero teraz zauważyłem

Mariusz: Gdyby mianownik był dobrze przepisany to jego rozkład wyglądałby następująco 4x⁴+4x+1 4x⁴ − (−4x − 1) (2x²)² − (−4x − 1)

	y		y2
(2x2+		)2 − (2yx2 −4x +		− 1)
	2		4

	y2
4(		− 1)*2y − 16=0
	4

2y(y²−4)−16=0 y³−4y−8=0 y = u + v (u+v)³−4(u+v)−8=0 u³+3u²v+3uv²+v³−4(u+v)−8=0 u³+v³ +3(u+v)uv −4(u+v)−8=0

	4
u3+v3 − 8 +3(u+v)(uv−		) = 0
	3

u³+v³ − 8=0

	4
3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³ − 8=0

	4
uv−		=0
	3

u³+v³=8

	4
uv=
	3

u³+v³=8

	64
u3v3=
	27

	64
t2−8t+		=0
	27

	16*27−64
(t−4)2−		=0
	27

	16(27−4)
(t−4)2−		=0
	27

	16*23
(t−4)2−		=0
	27

	16*69
(t−4)2−		=0
	81

	4√69		4√69
(t−4−		)(t−4+		)=0
	9		9

	36+4√69		36−4√69
(t−		)(t−		)=0
	9		9

	108+12√69		108−12√69
(t−		)(t−		)=0
	27		27

	1
y=		(3√108+12√69 + 3√108−12√69) = 0
	3

	y		y2
(2x2+		)2 − (2yx2 −4x +		− 1)
	2		4

	y		4
(2x2+		)2 − (2y)(x −		)2
	2		2*2y

	y		2
(2x2+		)2 − (√2y)2(x −		)2
	2		2y

	y		2
(2x2+		)2 − (√2yx −		)
	2		√2y

	y		2		y		2
(2x2 − √2y x +		+		)(2x2 + √2y x +		−		)
	2		√2y		2		√2y

I tak by wyglądał rozkład mianownika niestety y się ładnie nie uprości

Mariusz: y oczywiście nie jest równe zero

chichi:

	3x + 1
Jeżeli to jest: ∫		dx, to sprawa jest prosta, trzeba poczekać na
	4x4 + 4x2 + 1

autora

całki: kolega Mariusz ma rację

chichi: I kto Ci niby każe takie całki liczyć? Z jakiego zbioru pochodzi ów przykład?

f: Co się w 4. linijce stało 23 luty 11:00, że tam się y nagle pojawił

Mariusz: Jeżeli całka była taka jak to wcześniej zaproponował f To masz już całkę z ułamka prostego i rozbijasz go na sumę dwóch całek z których jedną liczysz podstawieniem a drugą ze wzoru redukcyjnego który stosunkowo łatwo wyprowadzić przez części Jeżeli nie pomyliłeś się przy przepisywaniu to podałem ci rozkład mianownika na czynniki kwadratowe Okazuje się że jeden z czynników można będzie jeszcze rozłożyć i rozkład na sumę ułamków prostych wyglądałby następująco

A		B		Cx+D		3x+1
	+		+		=
x−x1		x−x2		1   4   2x2−√2y x + (y+ )   2   √2y		4x4+4x+1

	1		4
gdzie x1 oraz x2 są pierwiastkami równania 2x2+√2y+		(y−		)=0
	2		√2y

	1
a y =		(3√108+12√69+3√108−12√69)
	3

Niestety tutaj nie ma dobrego edytora więc nie pokażę jak by te pierwiastki wyglądały Można tutaj liczyć symbolicznie i dopiero na koniec wstawić konkretne wartości

Mariusz: f: Jak masz równanie a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 to w pierwszym kroku dzielisz bądź mnożysz równanie przez a₄ no chyba że zauważysz że a₄ jest już kwadratem pewnej liczby (tak jak tutaj)

	a3		a2		a1		a0
x4+		x3+		x2+		x+		=0
	a4		a4		a4		a4

Teraz starasz się zapisać trójmian kwadratowy z lewej strony w postaci różnicy kwadratów więc grupujesz wyrazy tak że w jednym nawiasie masz tylko wyrazy z x⁴ oraz z x³ a w drugim nawiasie masz pozostałe wyrazy

	a3		a2		a1		a0
(x4+		x3)−(−		x2−		x−		)=0
	a4		a4		a4		a4

Teraz chcesz aby wyrażenie w lewym nawiasie było kwadratem zupełnym więc dodajesz do obydwu nawiasów brakujący wyraz zgodnie z wzorem skróconego mnożenia

	a3		a32
(x4+2		x3+		x2)−
	2a4		4a42

	a32		a2		a1		a0
(		x2−		x2−		x−		)=0
	4a42		a4		a4		a4

	a3		a32
(x4+2		x3+		x2)−
	2a4		4a42

	a32−4a4a2		a1		a0
(		x2−		x−		)=0
	4a42		a4		a4

Teraz zauważasz że wyrażenie tym drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero No ale gdybyś od razu liczył wyróżnik to mogłoby się okazać że nie jest równy zero Trzeba więc wprowadzić parametr aby uzależnić od niego wyróżnik tego trójmianu kwadratowego Tylko uwaga parametr wprowadzasz tak aby wyrażenie w tym pierwszym nawiasie nadal było kwadratem zupełnym − tutaj znowu korzystasz z wzorów skróconego mnożenia

	a3
(x2+		x)2−
	2a4

	a32−4a4a2		a1		a0
(		x2−		x−		)=0
	4a42		a4		a4

	a3		y
(x2+		x +		)2−
	2a4		2

	a32−4a4a2		a3		a1
((y+		)x2+(		−		)x
	4a42		2a4		a4

	y2		a0
+		−		)=0
	4		a4

I teraz chcesz aby wyróżnik trójmianu kwadratowego był równy zero

	y2		a0		a32−4a4a2
4(		−		)(y+		)
	4		a4		4a42

	a3		a1
−(		−		)2=0
	2a4		a4

f: Dziękuje Mariusz za wkład w nauczanie