Calka nieoznaczona 2,j: Oblicz całkę ∫xe^−sin(x)dx

Leszek: tej całki nie da się obliczyć metodami elementarnymi , rozwiń funkcje podcałkową w szereg potęgowy i dopiero całkuj . Powodzenia !

2,j: No to dupa Otrzymałem to przy rozwiązywaniu równania różniczkowego Nie wiem jak to w szereg potęgowy rozwinąć

kerajs: W szereg Maclaurina próbowałbym rozwinąć tylko e^{−sin x} . Tak na oko, są szanse na okresowość wartości pochodnych w zerze, więc i zgrabniejszy zapis sumy.

Mariusz: Okresowość wartości pochodnych w zerze ? Tu z pochodnej złożenia szybko nam się zrobi pochodna iloczynu i nie będzie aż tak łatwo Istnieje wzór na n. pochodną iloczynu ale aby z niego skorzystać trzeba umieć obliczyć n. pochodną czynników Mizerski w swoich tablicach twierdzi że "wzór ogólny jest bardzo skomplikowany " i podał tylko kilka pierwszych wyrazów (a i to aby dostać tę funkcję trzeba by było skorzystać z nieparzystości sinusa) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Podaj to równanie różniczkowe to sprawdzimy czy jakiegoś błędu nie popełniłeś Jest jeszcze taka możliwość aby sobie zdefiniować funkcję pierwotną np za pomocą całki oznaczonej

2,j: Ok, podam

2,j: Rozwiąż równanie różniczkowe y'=y*cos(x)+x y'−y*cos(x)=x Równanie różniczkowe Jednorodne y'−y*cos(x)=0

dy
	=cos(x)dx ∫
y

ln|y|=sin(x)+C, C∊R y=C₁e^sin(x) , C₁∊R Uzmiennienie stałej C y=C₁(x)e^sin(x) |' y'=C'₁(x)e^sin(x)+cos(x)C₁(x)e^sin(x) Wstawiam do równania różniczkowego y'−y*cos(x)=x C'₁(x)e^sin(x)+cos(x)C₁(x)e^sin(x)−cos(x)C₁e^sin(x)=x C'₁(x)e^sin(x)=x |*e^−sin(x) C'₁(x)=xe^−sin(x) | ∫ C₁(x)=∫xe^−sin(x)dx

Mariusz: Wygląda dobrze a gdyby od razu do tego równania wstawić szereg ? y = ∑_n=0^∞a_nxⁿ y' = ∑_n=0^∞(n+1)a_n+1xⁿ

	x2n
∑n=0∞(n+1)an+1xn= ( ∑n=0∞anxn)(∑n=0∞(−1)n		)+x
	(2n)!

Tutaj mamy splot dwóch ciągów