Dowód - trygonometria miodzio2002: Udowodnij, że arcsinx + arccosx = ^π₂ ∀x ∊ [−1,1]

Dr.Cutie: Dowód Przypadki a) x=−1 b)x=1 c) −1<x<1 x=−1 ============

	π
arc sinx=arcsin(−1)=−
	2

arc cosx=arccos(−1)=π

	π
arc sinx+arc cosx=
	2

Dla x=1 dowód jest analogiczny =============================== Gdy −1<x<1 Polózmy arc sinx=α arc cosx=β więc x=sinα x=cosβ więc

	π
(1) sinα=cosβ=sin(		−β)
	2

Z równosci (1) wynika na mocy wzorów redukcyjnch i okresowości funkcji sinus że

	π
(2)		−β=α+2kπ
	2

lub

	π
(3)		−β=π−α+2kπ k∊C
	2

α i β spełniaja tutaj dodatkowe warunki

	π		π
(4) −		<α<		i 0<β<π to
	2		2

	π		3		π		3
−		<α+β<		π i −		<β−α<		π
	2		2		2		2

Stąd i z (2)

	π		π		3
(5) −		<		−2kπ<		π
	2		2		2

oraz z (3)

	π		π		3
(6) −		<		−(2k+1)π<		π
	2		2		2

	1
Z (5) dostaniesz −U{1}[2}<k<		stad k=0
	2

Z (6) masz −1<k<0 a to jest niemozliwe Więc tak, z równości (1) wynika nam że

	π
α+β=
	2

tzn

	π
arc sinx+arc cosx=		cnd
	2

=============================

chichi:

	π		π
dla x ∊ [−1, 1] jesteśmy w stanie naleźć φ ∊ [−		,		] takie, że:
	2		2

	π
sin(φ) = x ∧ cos(		− φ) = x, zatem mamy:
	2

	π		π
L = arcsin(x) + arccos(x) = arcsin(sin(φ)) + arccos(cos(		− φ)) = φ +		− φ =
	2		2

	π
=		= P □
	2