Dowód
marność: x0 jest pierwiastkiem k−krotnym wielomianu P(x), jeśli istnieje taki wielomian Q(x), że P(x) =
(x−x0)kQ(x) oraz Q(x0) ≠ 0. Udowodnij, że x0 jest k−krotnym wielomianu P(x) wtedy i tylko
wtedy, gdy
P(x0) = P'(x0) = ... = P(k−1)(x0) = 0 i P(k)(x0) ≠ 0
15 lut 12:07
Adamm:
Jeśli P(x) = (x−x0)kQ(x), to P'(x) = (x−x0)k−1((x−x0)Q'(x)+kQ(x)) = (x−x0)k−1H(x)
Gdzie H(x0) ≠ 0 dla Q(x0) ≠ 0.
Stąd wynika że jeśli x0 jest pierwiastkiem k>0 krotnym dla P, to jest
pierwiastkiem k−1 krotnym dla P'
15 lut 16:19
Adamm:
Odwrotnie, jeśli P(x0) = P'(x0) = 0 to
P(x) = (x−x0)Q(x)
P'(x) = Q(x) + (x−x0)Q'(x)
Stąd Q(x0) = 0.
Spróbuj to uogólnić.
15 lut 17:22
I'm back:
Adamm − po co uogólniać?
Pierwszy wpis pokazuje nam że kolejne (k−1) pochodnych będzie przyjmować wartość 0 dla x0
Drugi wpis pokazuje nam że k'ta pochodną już takiej wartości nie da (dla Q(x0)≠0)
15 lut 17:38
Adam: Chcemy pokazać, że jeśli P(x0) = ... = P(k−1)(x0) = 0 oraz P(k)(x0) ≠ 0 to P ma
pierwiastek k−krotny
15 lut 18:19